Шпора (Word)
.doc№1. Предел функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел. Связь функции, имеющей предел, и бесконечно малой функции.
Рассмотрим функцию определенную в окрестности т. , за исключением может быть самой т. . : Число называется пределом функции при , если , , т.ч. , (): (выполнено) .
Теорема: Если функция имеет в т. предел, то он единственен.
Доказательство. Пусть существуют и , для , . Тогда , , т.ч. , :
, т.е.
, т.е.
Т.к. - любое число, выберем (предполагаем ). Тогда:
, , т.е. . Такого быть не может, следовательно наше предположение не верно, т.е. .
Функция называется ограниченной на , если , , т.ч.
Теорема: Если функция имеет в т. предел, то она ограничена в этой т.
***
Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .
Теорема (асимптотическое разложение функции, имеющей предел). Пусть . Тогда в окрестности т. , функция представима в виде: , где - б/м при .
Доказательство.
: , , т.ч. , :
: , , т.ч. , :
Следовательно, , по определению
№2. Свойства б/м функций. Предел суммы, произведения и частного. Переход к пределу в неравенствах, предел промежуточной функции.
Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .
Свойства:
1) - б/м при , - число: - б/м при
Пусть , тогда . Выберем , .
2) и б/м при , - тоже б/м при
Пусть, . Тогда , т.е. .
3) и б/м при , - тоже б/м при
Пусть , . Тогда , т.е.
4) - б/м при , a ограниченная - б/м при
Пусть , . Выберем , ,
Пусть существуют конечные пределы , . Тогда:
Пусть , . Тогда по теореме об асимптотическом разложении: , . Тогда . Обозначим , , . Тогда, , т.е. , .
Пусть , . Тогда по теореме об асимптотическом разложении: , . Тогда , . Обозначим , , . Тогда, , т.е , .
,
Пусть , . Тогда по теореме об асимптотическом разложении: , . Тогда , . Обозначим , , . Тогда, , т.е. , .
Теорема (о переходе к пределу в неравенствах): Пусть существуют конечные пределы в некоторой окрестности т. , . Тогда: если , то .
Доказательство. , , тогда: ,
Теорема (о пределе промежуточной функции): Если в некоторой окрестности т. и , то .
Доказательство. Пусть , тогда по теореме о переходе к пределу в неравенствах: , ,
, ,
Следовательно, и .
№3. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Асимптотическое разложение непрерывной функции
Функция называется непрерывной в т. , если .
Замечание: элементарные функции непрерывны в точках, где определены.
Теорема (о переходе к пределу, под знаком непрерывности): Если функция непрерывна в т. , то .
Доказательство. Т.к. и функция непрерывна, т.е. . Следовательно .
Теорема (о непрерывности сложной функции): Пусть непрерывна в т. , а функция непрерывна в т. . Тогда сложная функция непрерывна в точке
Доказательство.
Теорема: Пусть и непрерывны в т. , тогда , , () тоже непрерывны в этой точке.
Доказательство: основано на свойствах предела. Т.к. функция непрерывна, то .
Теорема (асимптотическое разложение непрерывной функции): Если функция непрерывна в т. , то в некоторой окрестности этой т., функция представима в виде: .
Доказательство. Рассмотрим . По теореме об асимптотическом разложении функции имеющей предел: . Т.к. функция непрерывна, то , т.е. .
№4. Эквивалентно бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных б/м. Замена отношения б/м эквивалентными при вычислении пределов.
Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .
Функции и называются эквивалентными б/м при , если и обозначаются .
Теорема: Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы была б/м более высокого порядка чем и .
Доказательство.
Необходимость. Пусть , . По теореме об асимптотическом разложении , где - б/м при . Тогда, , . Рассмотрим , следовательно . Рассмотрим , .
Достаточность. Пусть , , , , , . Пусть , , , , , .
Таблица б/м
, , , , , , , , .
Теорема (о замене б/м на эквивалентные в отношениях): Пусть, эквивалентные б/м при . Тогда .
Доказательство. Рассмотрим . Тогда, .
№5. Сравнение б/м функций. Бесконечно большие функции, связь с б/м. Вертикальная асимптота графика.
Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .
Пусть и б/м при . Тогда:
Если , то называется б/м более высокого порядка чем , т.е. ("о малое").
Если (числу), то и называется б/м одного порядка, т.е. ("о большое").
Если , то и называются эквивалентными б/м и обозначаются .
Функция называется б/б в т. и обозначается , если , , т.ч. , : .
Теорема: Пусть б/б при , тогда , б/м при .
Доказательство.
, , т.ч. , : , , ,
, т.е. , , т.ч. , : .
Выберем , т.е. , б/м при .
Прямая на плоскости, к которой неограниченно приближается график функции, называется асимптотой графика.
Пусть б/б в т. , тогда прямая называется вертикальной асимптотой графика
№6. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.
: Число называется односторонним пределом слева, если , , т.ч. , :
: Число называется односторонним пределом справа, если , , т.ч. , :