- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
12.11. Тройной интеграл в сферических координатах |
321 |
41IV^^ + у^ |
х^ + 2/^ - 4у = О, 2: = 4 - ж^, z = 0. |
|
|
dxdydzj |
|
|
п |
|
4. |
—=^===dxdydz, |
ж ^ + у 2 - 4 х = О, Z = 10-2/^, Z = 0. |
5. |
/ //-^—^dxdydz, |
ж^ + у^ - 4ж = 0, z = 12 - у^, z = 0. |
^- |
/ / / "^ ^dxdydz, |
Z - i/36 - ж2 - 2/2, z = ж^ + у^ |
|
|
44 |
2 |
3. |
32 |
32 |
2 |
Ответы. 1. -—7г. 2. 10-7Г. |
32—. |
4. 96—. |
5. 22-7г. |
||||
3 |
19 |
3 |
3 |
|
35 |
35 |
3 |
|
9. 0. |
10. |
0. |
|
|
||
6. 42-7Г. |
7. —7г. 8. 0. |
|
|
||||
4 |
96 |
|
|
|
|
|
|
12.11.Тройной интеграл
всферических координатах
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить тройной интеграл
1 \ 1 f{x,y,z)dxdydz, о.
где область ft ограничена поверхностями
x^ + y^ + z^^R\ z = ±i/''' + ^"
322 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Поскольку П ограничена сферой и круглым конусом, удобно перейти к сферическим координатам
X = ^cos</?sin6,
у = gsm(psm9,
Z = QCOSO.
Возможные границы изменения сферических координат суть
0 < ^ < О О , 0 < ^ < 7 Г , 0 < < ^ < 2 7 Г .
При этом (^, 0, у?) G П', а искомый интеграл определяется формулой |
||||||
III-f{x,y^z)dxdydz |
= |
|
|
|
|
|
-IIIf{g cos ip sin 9, g sin ip sin в, g cos в) g sin в dg dO d(p. |
||||||
2. Заменяем |
в уравнениях |
поверхностей х на ^ cos (^ sin в, |
у |
на |
||
^sin if sine и Z КЗ. дcos ^. Получаем |
|
|
|
|||
|
|
g = R, |
tge |
= ±\a\. |
|
|
3. Зададим область Q' с помощью системы неравенств: |
|
|
||||
|
|
0<g<R, |
|
|
|
|
|
|
Oi<e< |
02, |
|
|
|
|
|
О < (^ < |
27Г, |
|
|
|
где границы изменения в находим, |
решая уравнение tg0 = ±|а| и |
|||||
учитывая, что в может изменяться только от О до тг. |
|
|
||||
ЗАМЕЧАНИЕ. |
ЕСЛИ О. ограничена также плоскостями у = |
kix |
и |
|||
у = к2Х, проходящими через ось 0Z, |
уравнения которых в сферичес |
ких координатах имеют вид tg(p = ki и tg(p = к2, находим границы изменения (р, решая эти уравнения.
4. Переходим от тройного интеграла к повторному:
/ / / f{x,y,z)dxdydz |
= |
п |
|
12.11. Тройной интеграл в сферических координатах |
323 |
|||
~ |
-^(^ ^^^ ^ ^^^ ^' ^ ^^^ ^ ^^^ ^' ^ ^^^ ^) ^^ ^^^ ^ ^^ ^^ ^^ |
~ |
||
= |
dip smOde |
f{gcos(psme,gsm(f |
sine, QCOsO) Q^ dg, |
06/i
ипоследовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.
Записываем ответ.
ПРИМЕР. Вычислить тройной инт,еграл
Г.2
j 1] ^^Г^^^'^У^^^
2(?e область Г2 ограничена поверхностями
,2 , 7,2
РЕШЕНИЕ.
1.Поскольку О. — область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам
X = дcos if sine,
z = gcosO.
При этом {д,в,(р) G Cl', a искомый интеграл определяется форму
лой
/ / / ~ |
^dxdydz = |
cos^ ifд^ sin в dgd9d(f. |
2. Заменяем в уравнениях поверхностей х на ^cos(^sin^, у на ^sin(/?sin^ и Z на gcosO. Получаем
^= 6, tg6> = \/3.
3.Зададим область Q' с помощью системы неравенств:
|
О < ^ < |
6, |
П' = < {д,в,^): |
0 < ^ < 7 г / |
3 , \ , |
|
0<(р<27г. |
|
324 |
|
|
|
Гл. 12. |
Кратные интегралы |
|
|
|
|||
4. Переходя от тройного интеграла к повторному и последова |
|||||||||||
тельно интегрируя, получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||
/ / / ~2 |
|
2 ^^dydz— |
j |
I j |
cos^ (pQ^ sin в dg dO dip |
= |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
27Г |
ТГ/З |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
/ cos^ (pdp(f dip |
|
dg = Збтг. |
||
Ответ. |
/ |
X |
2 ^^ ^^ ^^ |
~ |
^^^' |
|
|
|
|||
/ / -2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия |
|
ЗАДАЧ. Вычислить |
тройной инт^еграл по области |
Q, |
|||||||
ограниченной |
заданными |
поверхностлми. |
|
|
|
||||||
Г Г Г |
|
х^ |
|
|
|
|
|
|
[х^+у |
|
|
2. |
|
-j—^dxdydz, |
|
|
z = |
>/Зб~^^^^"^2^^^, |
^"^V |
63 |
* |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^' J J |
J |
|
х^ + у^'^'''^^'^^' |
|
|
|
|
|
x^ + 2/^ |
||
|
|
|
|
^ = ^ 1 6 - ^ ^ - 2 / " ' ^ = Y |
|
15
ж^ + 2/^
X^ + у2
x2 +2/^
n
x2 +2/^