- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
|
|
|
10.3. Вторая теорема сравнения |
217 |
||||
Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов. |
||||||||
|
у^ |
arctg(n^) |
|
^ ^ 4 |
—2sinn |
|||
|
^ |
n(n + 2)(n + 3)' |
* |
^ |
n - l n n |
• |
||
|
n=l |
^ |
"^ ^ |
^ |
|
п=1 |
|
|
|
1г~^ 2 4- cos п |
|
|
^ ^ п"^ In п |
|
|||
|
п=1 |
|
|
|
|
п=2 |
|
|
|
|
5 — 2 COS п |
^ |
v-^ |
2 + Sin п |
|||
|
п = 1 |
|
5 / 3 |
• |
^- |
^2 ^ П(п2 + 3) • |
||
|
|
|
|
|
п=1 |
^ |
' |
|
|
оо |
, |
|
|
о |
со |
о |
|
|
Y^ |
^^^ |
|
v ^ |
cos^n |
|
||
|
n=l |
^ |
|
|
|
n=l |
|
|
Q |
ж |
|
Inn |
|
^^ |
v ^ |
Inn |
|
|
n=l |
v n |
-t- 1 |
|
|
[ ^/пТЗ |
|
|
|
|
|
^^^ |
|
|
Ответы. 1. Ряд сходится. 2. Ряд расходится. 3. Ряд сходится. 4. Ряд расходится. 5. Ряд расходится. 6. Ряд сходится. 7. Ряд сходится. 8. Ряд сходится. 9. Ряд сходится.
10.Ряд расходится.
10.3.Вторая теорема сравнения
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с полоэюи- т,ельными членами
оо
п=1
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Проверяем, что limn_>oo <in = О (если lim„_^oo ctn ¥" О? то ряд расходится, TcLK как не выполнено необходимое условие сходимости ряда).
2.Проверяем, что а^ > О для всех п > 1.
3.Делаем вывод о сходимости или расходимости данного ряда, используя вторую {предельную) теорему сравнения.
218 |
|
Гл. 10. Ряды |
|
|
|
Пусть |
даны два ряда |
Х^^х^п? |
X ) ^ i ^п) причем |
существует |
|
помер N |
такощ что при всех n>N |
ап>0 |
ubn>0. |
|
|
Если сущесппвует конечный и отличный |
от нуля предел |
||||
|
|
lim |
—, |
|
|
|
|
n—>оо |
0^ |
|
|
то ряды Yl^z=i ^п и S ^ i |
^п либо оба сходятся^ либо оба |
расходятся. |
В качестве эталонного ряда Yl^=i ^п используем гармонический ряд Yl^=i —? который сходится при р > 1 и расходится при р < 1,
или геометрический ряд X^^i сд*^ {q > 0), который сходится при q < 1 и расходится при g > 1. Таким образом, нужно найти последо вательность А/п^ (или Bq"^) такую, что
On ~ — (или an ~ Bq^) при п -> оо.
пР
Вывод: по второй теореме сравнения исходный ряд сходится, если
р > 1 (gf < 1), и расходится, если р < I {q> |
I). |
|
ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда |
|
|
оо |
П |
|
Е__arcsm^ |
|
|
-(гг2 + 3)5/2 |
• |
|
РЕШЕНИЕ. |
|
|
1. Имеем |
|
|
lim arcsin --z—TTT-JT; |
== 0. |
|
n->oo |
(п2 + 3)5/2 |
|
2. Проверяем, что члены данного ряда положительны. Действи
тельно,
п
arcsm —~т—-ттт^ > О (п2 -f- 3)5/2
при всех п > 1, так как п/{п'^ -h 3)^/2 е (0,1).
3. Делаем вывод о сходимости или расходимости данного ряда, используя вторую (предельную) теорему сравнения.
Имеем
п1
arcsm (п2^ ^ -^f n\F3)5/2./o ^ ^4"~4 ^Р^ п -> оо.
Ряд
п = 1
10.4. Признак Даламбера |
219 |
сходится как гармонический с р = 4 > 1. Следовательно, в силу вто рой (предельной) теоремы сравнения исходный ряд также сходится.
Ответ. Ряд ЕГ=:1 ^J^csin ^ |
^^^ сходится. |
Условия ЗАДАЧ. Исследовать сходимость рядов.
1. |
y^ln^^^T |
-. |
2. |
У^ п |
f 1 - |
cos 4г V |
|||
|
п=1 |
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
оо |
|
|
- |
3. |
2 J |
^^'^ arctg —. |
4. |
Y^ n^ sin -3-= |
|||||
|
n = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сю |
|
|
|
|
^ . |
|
n + 3 |
|
P: V ^ i ^ ^ + 3 |
6. |
|
|||||||
5. |
> |
nln—5 |
-. |
> |
sm-—; |
-T-r. |
|||
|
^ |
|
n4 + 2 |
|
^ ^ |
|
n(n + 2)3 |
||
|
n = l |
|
|
|
|
n = l |
|
^ |
-^ |
^ |
^ |
3 - + П |
|
^ |
^ 3 ^ |
. n^ + l |
|||
7. |
> |
z |
Z-. |
8. |
> |
|
V^arcsm—^—-. |
||
|
n = l |
|
|
|
|
n = l |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
10. |
00 |
|
|
|
9. En^(eV-^-l). |
E"tg'^- |
||||||||
|
n = l |
|
|
|
|
n = l |
|
|
|
Ответы. 1. Ряд сходится. 2. Ряд сходится. 3. Ряд сходится. 4. Ряд расходится. 5. Ряд сходится. 6. Ряд сходится. 7. Ряд сходится. 8. Ряд сходится. 9. Ряд расходится. 10. Ряд сходится.
10.4. Признак Даламбера
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать сходимость ряда с полоэюительными членами
оо
п=1
где an ^ Ьп и Ьп содерэюит произведения многих сомнооюит^елей {например., факппориалы).
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ при вычислении предела
п—^оо On
220 |
Гл. 10. Ряды |
можно сократить многие множители в числителе и знаменателе дроби bn-\-i/bny то обычно применяют признак Даламбера.
Пусть дан ряд с полоэюителъными членами
с»
п = 1
Если существует предел
lim —— = д,
п->оо On
то при Q < 1 ряд сходится, при д > 1 расходится. (Если ^ = 1, то признак Даламбера ответа не дает.)
1.Проверяем, что а„ > О при всех п > 1.
2.Упрощаем, если требуется, выражение для а^, т.е. будем иссле довать сходимость ряда X l ^ i ^п такого, что а^ ~ Ьп при п —> оо, а затем воспользуемся второй теоремой сравнения.
3.Вычисляем bn+i-
4.Вычисляем предел
l i m % : i = ,. |
(1) |
5. Применяем признак Даламбера и вторую теорему сравнения.
Если ^ < 1, ряд Yl^=i ^п сходится. Следовательно, по второй теореме сравнения сходится и исходный ряд Yl^=i ^п-
Если ^ > 1, ряд Yl^-i Ьп расходится. Следовательно, по второй теореме сравнения расходится и исходный ряд X ) ^ i ^п-
П Р И М Е Р . Исследовать сходимость ряда
^оо i1.• 4 |
•. Y7 |
••... . ••{6П(3n—- Z)2) ,^ |
|
|
sm - |
n = l |
|
|
РЕШЕНИЕ.
1.Проверяем, что члены ряда положительны. Действительно,
а„ = |
1.4.7- ... • (Зп -•2) . |
1 |
|
п! |
— sin |
2 ^ > 0 |
при всех п > 1.
|
10.4. Признак Даламбера |
221 |
||
2. Поскольку sinx ~ X при ж ^ |
О, можно упростить |
выражение |
||
для an'. |
|
|
|
|
Ь 4 • 7 > ...» |
(Згг - 2) . _ |
1 _ |
Ь 4 • 7 • ... • (Зп - 2) |
|
п! |
^^^ 2^+1 "" |
2^^+1гг! |
|
т.е. будем исследовать сходимость ряда X^^i ^п? где
_ 1 • 4 • 7 •... • (Зп - 2) 2-+1п!
и затем воспользуемся второй теоремой сравнения.
Поскольку Ьп содержит произведения сомножителей типа факто риалов, следует применить признак Даламбера.
3. Вычисляем bn-{-i'
_ |
1 • 4 • 7 •... • (Зп - 2)»(Зп -f 1) |
Ьп+1- |
2^+2(гг + 1)! |
4. Вычисляем д по формуле (1)
Q = hm —— =
n—>oo Ofi
|
1. 4 • 7 •... • (3n - 2) • (3n -f 1) |
2"+in! |
} ^ |
2"+2(n + 1)! |
1 • 4 . 7 •... • (3n - 2) |
= lim |
3n + 1 |
3 |
|
-7 |
-7 = |
- . |
|
n->oo2(n+l) |
2 |
5. Применяем признак Даламбера и вторую теорему сравнения.
Так как д = 3/2 > 1, то ряд
у > Ь 4 • 7 •.. • • (Зп - 2)
п=1
расходится. Следовательно, по второй теореме сравнения расходится
и исходный ряд.
v^ 1 • 4 . 7 •... • (Зп - 2) . |
1 |
||
Ответ. Ряд 2^ |
j |
sm ^^^ |
расходится. |
п=1