- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием |
237 |
сходится условно по признаку Лейбница. В точке X — 3 ряд
п=1
расходится.
Ответ. Область сходимости степенного ряда — [1,3).
Условия ЗАДАЧ. Найти области сходимост^и степенных рядов.
п=1 п=1
3. Е ^ ^ . |
^^ |
Е |
|
' |
||
п=1 |
|
|
|
п=1 ^ |
||
^ { |
х |
- 2)" |
|
^ |
|
( х - 3 ) ^ - 1 |
^ ^ ( n |
+ l)3^' |
' |
^ ^ |
(2пЗ + 3n)4^ • |
||
n = l |
^ |
' |
|
n = l |
^ |
^ |
со |
|
у— |
|
СХ) |
|
|
n = l |
|
|
|
n=l |
^ |
^' |
|
|
|
|
|
|
2n+l |
n=l |
^ |
' |
|
n~\ |
^ |
' |
Ответы. 1. (-7,11). 2. (2,4). 3. ( - 7, - 3) . 4. [-2,1). 5. [-1,5).
6.[1,5]. 7. [-4, -2]. 8. [-5,1). 9. (-6, -2]. 10. (-oo, +oo).
10.11.Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти сумму функционального ряда вида
Е
и указать область сходимост^и ряда к этой сумме.
238 |
Гл.10. Ряды |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Находим область сходимости ряда.
По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст вом
I/WI < 1.
Если f{x) = 1, ряд расходится. Если f{x) = —1, ряд сходится условно (по признаку Лейбница). Следовательно, область сходимости опреде ляется неравенствами —1 < f{x) < 1.
2.Делаем в исходном ряде замену f{x) = t, получим степенной
ряд
п=1
собластью сходимости [—1,1).
3.Известна формула для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
оо |
1^ |
|
|
^ Г |
= ^ , |
\t\<l. |
(2) |
п=к |
|
|
|
4. Кроме того, имеем очевидное равенство
п=к п—к
5. Учитывая, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [0,t], целиком принадлежащем интервалу сходи мости, и используя формулу (2), получаем
оо ,п rt оо ^t к
Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t=—1,
то сумма ряда непрерывна в этой точке (справа). |
Следовательно, |
|
5( - 1) |
= lim S(t). |
|
6. |
Вычисляем интеграл, делаем замену t на f{x) |
и записываем |
ответ: сумму ряда и область его сходимости.
10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием |
239 |
ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ ряд имеет вид
Е
^^Jn + a)(n + b)'
то применяем теорему о почленном интегрировании степенного ряда дважды или разлагаем дробь на элементарные:
|
|
1 |
[п-^ а)[п-\-Ь) |
\n-\-a |
п^-Ь) Ь - а^ |
и вычисляем сумму каждого ряда почленным интегрированием.
ПРИМЕР. Найти сумму ряда
оо. л,
E sm X
п
п=1
Иуказать область сходимости ряда к этой сумме.
РЕШЕНИЕ.
1. Находим область сходимости ряда.
По признаку Коши интервал сходимости определяется неравенст вом I sinx| < 1.
В граничных точках при х = 7г/2 + 27тк ряд расходится, при х = = 37г/2 -h 27г/с ряд сходится условно.
Следовательно, данный ряд сходится при всех х ф т:/2 -^ 2'кк (А: = 0,±1,...).
2.Сделаем замену sin ж = i. Получим геометрический ряд (1) с областью сходимости [—1,1).
3.Используем формулу для вычисления суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
СХ) |
- |
п=1
4. Кроме того, имеем очевидное равенство
оо ^ |
оо |
.t |
n = l |
n = l |
/о |
240 |
Гл. 10. Ряды |
5. Учитывал, что степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [0,t], целиком принадлежащем интервалу сходи мости, и используя формулу (4), получаем
У2-= |
yZu'^-'du^ |
^^—du = -\n{l-t), |
\t\<l. |
(5) |
^^1 ^ |
Jo „^1 |
Уо 1 - ^ |
|
|
Заметим, что так как ряд (1) сходится в граничной точке t = —1, то его сумма непрерывна в этой точке (справа). Следовательно, фор мула (5) справедлива при всех t G [—1,1).
6. Заменяя t на sin ж, получаем при х ф -к12 + 27г/с
S{x) |
= — In (1 — sin |
х). |
Ответ. S{x) = - l n ( l - |
sinx), хф -KJI |
+ 27гА;. |
Условия ЗАДАЧ. Найти суммы функциональных рядов и указать области их сходимост^и к этим суммам.
6"х"
1.
п= 1
3.у^ (1 - 16а;4)"
п = 0
5. |
^ |
2" |
^^{п |
+ 1)х^-- |
°°on
7.У"^ п(п+1)х"'
п = 1 ^ |
' |
- ^ (-1)"4"х2"
0
2п + 1 '
п = 1
°° |
п+2 |
2 V |
^ |
^п(гг4-1)*
п = 1 ^ |
^' |
ооо п - 1
4.п=1УПХ"^ .
ООг)П„П+1
- (_1)п^2п+1
• |
^ |
2п + 1 |
' |
|
п = 0 |
|
|
10^ |
J : |
(-1)^-^Ж^^ |
|
^^' |
^ ^ |
п(2п - 1) |
|
|
п = 1 |
^ |
^ |
Ответы. |
|
|
1. |
5= - 1п(1 - бж), |
ж G [-1/6,1/6). |
2. |
S={x-x'^)ln{l-x) |
+ x^, X G [ - 1 , 1 ] . |