- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
10.9. Область сходимости функционального ряда |
231 |
3. Вычисляем:
Ответ: |
5 ?^-0,229 ± 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Условия ЗАДАЧ. Вычислить |
суммы знакочередующихся |
рядов |
с |
||||||||||||||
заданной точностью |
а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
П = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1)" |
|
|
|
|
|
^ |
|
(-1)" |
|
|
|
|
|||
П = 1 |
^ |
|
' |
|
|
|
|
|
П = 1 |
^ |
^ |
|
|
|
|
|
|
оо |
(_1)п |
|
|
а = 0,0001. |
6. |
оо /_-|\п |
' |
« = 0,001. |
|
||||||||
^- Е |
т |
^ ' |
|
|
^ |
V |
T |
|
|||||||||
-^^^ (2п)\п |
|
|
|
|
|
|
^-^ |
|
2^п\ |
|
|
|
|
||||
п=1 |
^ |
' |
|
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
•Ы;, |
|
а = 0,01. |
|
8. |
|
|
^ " |
|
" = 0,01. |
|||||||
7- Е ^ з т ? ' |
|
" = 0'01- |
|
8- |
ЕЧ;;^-' |
||||||||||||
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( - 1)" |
|
|
a = 0,01. |
|
10. |
^ |
|
|
(-1)n - 1 |
a = 0,01. |
||||||
9. y^^—Y-^ |
|
|
|
V - ^ ^ - — , |
|||||||||||||
n•=^0 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
^ ( 2 n |
+ |
l)3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
• ^ |
(2n |
+ |
l)'^ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=l |
^ |
|
|
^ |
|
|
|
|
Ответы. |
1. |
5 |
~ |
0,84. |
2. 5 |
:^ |
0,896. |
3. 5 |
:^ |
-0,275. |
4. 5 |
:^ |
|||||
~ -0,332. |
|
5. 5 |
^ |
-0,4796. |
6. 5 |
2^ -0,393. |
7. 5 |
- |
0,13. |
8. 5 |
- |
--0,45. 9. 5 :^ 0,36. 10. 5 - 0 , 0 4 .
10.9.Область сходимости функционального ряда
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найт,и область сходимости функциональ ного ряда
T.fnix).
П = 1
232 |
Гл. 10. Ряды |
ПЛАН РЕШЕНИЯ. При каждом допустимом значении х рассматри ваем данный ряд как числовой и исследуем его сходимость, применяя теоремы сравнения, признаки Коши, Даламбера и др. Таким образом находим те значения ж, при которых данный ряд сходится. Совокуп ность таких значений х образует область сходимости ряда.
При использовании признаков Даламбера или Коши поступаем следующим образом.
1. Находим д{х) по одной из формул (если пределы супдествуют)
е{х) = Um % ^ 7 ^ или в{х) = lim " ^ / [ Ш I ,
где fn[x) — обш;ий член ряда.
2.Так как по признакам Даламбера или Коши ряд сходится при
^< 1 и расходится при ^ > 1, находим интервал сходимости, решая неравенство д{х) < 1.
3.Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала схо димости.
Записываем ответ.
ПРИМЕР 1. Найти область сходимости ряда
^3
х+1
РЕШЕНИЕ.
1. Для каждого фиксированного х все члены данного ряда поло жительны:
«^3 |
|
п |
> О Vn > 1. |
2. Используем вторую (предельную) теорему сравнения. Имеем
п^ |
1 |
п р и П -> ОО. |
|
(n2 + V ^ + 1)^+1 |
п2(^+1)-3 |
||
|
Так как при 2{х + 1) — 3 > 1 ряд
оо^
2-^ ^2(ж4-1)-3
п =1
10.9. Область сходимости функционального ряда |
233 |
сходится, а при 2(ж + 1) — 3 < 1 расходится (как обобщенный гармо нический), то по второй теореме сравнения ряд
ЕпЗ
П= 1 ^
сходится при вс^х X > 1.
Ответ. Область сходимости ряда — (1,оо).
ПРИМЕР 2. Найти область сходимости ряда
^ п З ( ж 2 - 4 ж + 7 ) ^ '
т г = 1 ^ ^
РЕШЕНИЕ.
1.Для того чтобы применить признак Даламбера, находим д{х) по формуле
|
|
|
|
|
|
ЛП+1 |
|
|
|
. |
, |
у |
l/n+il |
,. |
(п + 1)3|а:2-4х + 7|"+1 |
4 |
zr • |
||
^(а;) = |
lim |
, ^ , |
= lim |
-^ |
'—^—т^г |
• |
= т^ :; |
||
^^ |
^ |
п-^оо |
1/^1 |
п->оо |
|
4^ |
|
|а:2_ 4x4-71 |
72^1x2 - 4х4-7|"'
2. Так как по признаку Даламбера ряд сходится при ^ < 1 и расходится при ^ > 1, находим интервал сходимости, решая неравен ство Q{X) < 1:
4
\х^ - 4а: -Ь 7| "^ *
Получаем х Е (—оо, 1) U (3, ос).
3. Исследуем сходимость ряда в граничных точках: при X = 1 ряд
сх.
п = 1
сходится (как обобщенный гармонический с р = 3 > 1); при X = 3 ряд
оо
ЕЛ
п=1
также сходится.
Ответ. Область сходимости ряда — (—оо, 1] U [3, +оо).
234 |
|
|
|
Гл. 10. Ряды |
|
||
Условия ЗАДАЧ. |
Найти |
области |
сходимости функциональных |
||||
рядов. |
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
^ |
|
|
ОС |
|
^ » , |
|
|
|
2 |
V |
|
on |
|
1 V — ^ ^ — |
|
|
^ |
||||
'^(-§/^1+1)'^+^' |
' |
^ п ( х 2 - 6 х + 10)"' |
|||||
п=1 |
^ ^ |
^ |
|
|
п=1 |
^ |
"^ |
ОО |
|
А |
|
|
ОС |
|
o n |
Z ^ |
n^'+4x + 3 |
|
' |
^ |
п(ж2 - |
5ж -f 9)" * |
|
n = l |
|
|
|
|
n = l |
^ |
"^ |
ОО |
|
|
|
|
ОО |
.j^ |
|
^- i-jn^^-z |
+ i- |
|
^- |
2^п2(г2 + 3)"' |
|||
п=1 |
|
|
|
|
п=1 |
^ |
' |
ОО |
|
2 |
|
|
сю |
|
^~, |
^-^ (п + л/п)^ ' |
|
* |
^ ^ |
п(а;2 - |
4а; + 8)" ' |
||
П = 1 ^ |
V / |
|
|
^__-|^ \ |
/ |
||
п=1 |
|
|
|
|
п=1 |
^ |
^ |
Ответы. 1.(3,+оо). |
2. (-оо,2)и(4,+оо). |
3. (-оо,-5) U (1, Н-оо). |
|||||
4. (-00,2) и (3, +оо). |
5. (-00, -2) |
U (2, +оо). |
6. (-оо, -1] U [1, +оо). |
||||
7. (3, +оо). |
8. (-00,1) |
и (3, +оо). |
9. (0,3). |
10. (-оо, 0] U [2, +оо). |
10.10. Область сходимости степенного ряда
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти область сходимости степенного ряда
|
оо |
|
|
|
^ С п ( ж - Ж о ) ' ' - |
||
|
п=1 |
|
|
ПЛАН РЕШЕНИЯ. |
|
|
|
1. Если существуют пределы |
|
||
у |
\Сп\ |
|
1 |
lim |
г |
или |
limn_>ooVW' |
п->оо |cn4-i| |
|
то можно найти радиус сходимости степенного ряда по формуле Даламбера
R=]lm-j^ |
(1) |
п-^оо |Cn-fl|
10.10. Область сходимости степенного ряда |
235 |
или по формуле Коши
R= |
^ ^ — . |
(2) |
Тогда интервал сходимости ряда есть —R<x — xo < R.
ЗАМЕЧАНИЕ. Формулы (1) и (2) применимы лишь тогда, когда все коэффициенты степенного ряда с„ отличны от нуля. В противном случае находим д{х) по одной из формул
д{х) = lim % t i ^ или в{х) = Ит " ^ / i л M ,
где fni^) — общий член ряда (см. задачу 10.9). По признакам Даламбера или Коши ряд сходится при ^ < 1 и расходится при ^ > 1. Следо вательно, находим интервал сходимости, решая неравенство д{х) < 1.
2. Исследуем поведение степенного ряда в граничных точках ин тервала сходимости ж = хо ± Я.
Записываем ответ.
ПРИМЕР 1. Найти область сходимости ряда
i.^<-')"
П = 1
РЕШЕНИЕ.
1.В данном случае с„ = (n-fl)^ ф О при всех п. Поэтому можно
применить формулы (1) или (2) для радиуса сходимости степенного ряда.
По формуле Даламбера
R= |
lim |
n-^oo 2n + 1 / 2n + 3 |
|
n-^oo Cn+1 |
|||
|
|||
Следовательно, |
интервал сходимости определяется неравенствами |
||
- 1 < а : Ч - 1 < 1 и |
имеет вид (-2,0). |
2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала схо димости. В точке а: = — 2 степенной ряд принимает вид
^ 2п + 1 ^ ^
П = 1
236 |
Гл. 10. Ряды |
ив точке X = О степенной ряд принимает вид
у(lL±i)!(i)n.
Z ^, 9ti2n 4+- 1l ^ ' n=l
Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому усло вию сходимости рядов:
(п + 1)^
""-"шт^^'^^^'-
Следовательно, в этих точках ряд расходится.
Ответ. Область сходимости степенного ряда — (—2,0).
ПРИМЕР 2. Найти область сходимости ряда
ОС .
РЕШЕНИЕ.
1.В данном случае с^ = О при всех нечетных п. Поэтому нельзя применять формулы для радиуса сходимости степенного ряда.
Используем признак Коши, для чего вычислим
д{х) = lim Vl/nWI,
Находим ^(х):
е(х) = lim -J-±-{x-2y" |
= {х~ 2)\ |
|
п->оо |
V '^ + J- |
|
По признаку Коши ряд |
сходится при |
^ < 1 и расходится при |
^ > 1. Следовательно, интервал сходимости определяется неравенст вом {х — 2)^ < 1 и имеет вид (1,3).
2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках интервала схо димости. В точке X = 1 ряд
СХ) .
п=1