- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
9.2. Криволинейные интегралы второго рода |
207 |
9.2.Криволинейные интегралы второго рода
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить криволинейный интеграл
/ Р(ж, 2/, z) dx + Q(x, 2/, z) dy + R{x, y, z) dz
L
где L — часть гладкой кривой, заданной параметрически
X = |
x{t), |
|
у = y{t), |
ti<t< ^2, |
|
z = |
z{t). |
|
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Криволинейный интеграл второго рода по кри вой L определяется формулой
/ Р(ж, г/, z) dx -Ь Q{x, у, z) dy + R{x, у, z) dz =
(1)
j[P{x{t)^),z{t))x\t)^-Q{x[t)^),z{t))y\t) |
+ R^ |
ti
1. Вычисляем x'{t), y'{t) и z'[t).
2. Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1) и записы ваем ответ.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если граничные точки кривой L |
M{xi,yi,zi) |
и |
|||
^{х2,2/2, ^2) заданы в декартовых координатах, то ti |
и ^2 определяем, |
||||
решая системы уравнений |
|
|
|
|
|
XI = x ( t i ) , |
( |
Х2 |
=x{t2), |
|
|
2/1 = y{ti), |
I |
У2= 2/(^2), |
|
|
|
Zl = Z{ti)] |
[ |
Z2 |
=z{t2). |
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если кривая задана как линия пересечения двух поверхностей:
ГFi(a:,2/,z) = 0,
\F2{x,y,z)=0,
то ее необходимо параметризовать.
208 |
Гл. 9. Криволинейные интегралы |
ПРИМЕР 1. Вычислить криволинейный интеграл
Гу
/ -3 dx — Зх dy -\- X dz
L
ПО части кривой L, заданной параметрически
X = 2 cos |
t, |
y = 2smt, |
0 < t < ~ , |
z = |
1-2cost-2smt. |
|
РЕШЕНИЕ. |
|
|
|
|
1. |
Вычисляем: x'{t) |
= —2sinf, y'{t) |
= 2costH z\t) = 2sint-2cos 1 |
|
2. |
Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1): |
||
/ |
|
— dx — Sxdy + xdz |
= |
|
L |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7г/2 |
|
|
= |
|
/ ~ sint(-2sint) |
- 6cost(2cost) 4-2cost(2sint - 2cost) dt = |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
2//3 dx — 3xdy + xdz = 2 —--тг. |
||
|
|
/ |
|
|
|
|
L |
|
|
|
ПРИМЕР 2. Вычислить криволинейный интеграл |
|||
|
|
|
I {х — y)dx-\- |
dy -\- zdz |
|
|
|
L |
|
от точки М(2,0,4) до точки 7V(—2,0,4) {у > 0) по кривой L, образо ванной пересечением параболоида z = x^ +у'^ и плоскости z = 4,
РЕШЕНИЕ. В сечении получается окружность
^2 4- 2/2 = 4, 2 = 4.
9.2. Криволинейные интегралы второго рода |
209 |
Поэтому параметрические уравнения кривой L имеют вид
X = 2 cos t,
у = 2sm t,
z= A.
1.Вычисляем: x\t) = -2sint, y'{t) = 2cost и z'{t) = 0. Определяем ^i и ^2 из условий
2 = 2costi, |
( |
—2 = 2cost2, |
||
0 = |
2sinti, |
I |
0 = |
2sint2, |
4 = |
4; |
[ 4 = |
4. |
|
Учитывая, что у > О, получаем ti = О и ^2 = тг.
2. Вычисляем криволинейный интеграл по формуле (1):
тг
I [х — y)dx-\- dy -\- zdz = / [(2cost - 2sint)(-2sint) + 2cost]c?t = 27г.
L |
0 |
Ответ. / {x — y)dx-\- dy -\- zdz = 27Г.
L
Условия ЗАДАЧ. Вычислить криволинейные интегралы.
1. |
/ ( , ^ - |
.^) .X + 2уг dy - |
.^ d., |
L - |
паст. |
.риеоП . = t,y |
= t^ |
||||||||
Z = t^ |
L |
|
|
|
до точки |
N{1,1,1). |
|
|
|
|
|
||||
от точки М{0,0,0) |
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
(2 — y)dx-\-xdy, |
|
L |
— |
арка |
циклоиды |
х |
= |
t |
— sint, |
|||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: l - c o s t |
( 0 < t < 2 7 r ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
ydx |
+ zdy-\-xdz, |
L |
— |
первый виток |
винтовой |
линии |
||||||||
|
L |
у = sint, |
z — t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•- cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. / ( X |
4- y)d. + |
( . - y)dy, |
L - |
оппжпосгп. |
(x - |
1)^ + |
(, |
- |
1 ) - 4 . |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
f |
(x -{- y)dx |
— (x — y)dy |
_ |
9 r> |
||
5. |
/ |
-^^ |
:z |
:: |
, |
L — |
окруэюностъ x^ -\- y^ = 1. |
|
J |
|
x^ Л-у^ |
|
|
|
|
210 |
|
|
|
Гл. 9. Криволинейные интегралы |
|
|
|
|
|||||
6. |
/ (4а: -\- у) dx + {х -\- 4у) dy, |
L — часть |
параболы |
у = х^ |
от |
||||||||
точки |
L |
|
до точки |
N{—1,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М(1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
/ 2xydx |
+ х^ dy^ |
L — отрезок |
прямой |
от точки |
М(0,0) |
до |
||||||
точки |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N{1,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
у dx -{- X dy -\- {х -{- у -\- z) dz, |
L — отрезок |
прямой |
от |
точки |
||||||||
|
L |
до точки |
N{3,4., Б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
М(2,3,4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и плоскости z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
/ ydx — xdy + zdz, |
L — линия |
пересечения |
сферы х^+ ?/^+ 2:^ = 4 |
|||||||||
L |
х^ -\- у^ = 7? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и конуса |
(^ ^ 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответы. 1. 1/35. |
2. |
-27Г. 3. -тг. |
4.0. |
5. |
-27г. |
6 . - 2 . |
7.1. |
||||||
8. 33/2. |
9. 47Г. 10. |
- 47Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||