- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
138 |
Гл. 6. Функции нескольких переменных |
6.5. Производная неявной функции
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции у = у{х)у заданной неявно уравнением
F{x,y)=0. |
(1) |
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ при каждом фиксированном ж, принадлежа щем некоторой области Z), уравнение (1) имеет единственное реше ние у, принадлежащее некоторой области Е^ то уравнение (1) задает функцию у = у{х) с областью определения D и областью значений Е.
Если в некоторой окрестности точки (а:о,2/о = у{^о)) функция F{x^y) дифференцируема и Fy{xo,yo) Ф О? то уравнение (1) опре деляет функцию у — г/(ж), дифференцируемую в точке жо, причем ее производная определяется формулой
1.Вычисляем частные производные F^{x,y) и Fy{x^y) в точке (а:о,2/о)) где уо есть корень уравнения F{xo,y) = 0.
2.Находим у'{хо) по формуле (2) и записываем ответ.
ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично вычисляются частные производные функций нескольких переменных, заданных неявно. Например, если уравнение F{x^y^z) = О задает функцию z = z{x^y), то при извест ных условиях функция Z = z{x^y) дифференцируема в точке (жо,г/о) и ее частные производные определяются формулами
F^(xo,^Q,zo) |
|
F'{xQ,yQ,zo) |
F'^{xQ,yQ,ZQ) |
у |
F^{xo,yo,zo) |
где ZQ есть корень уравнения F{xo^yo,z) = 0.
ПРИМЕР. Найти производную функции у = у(х)^ заданной неявно
уравнением |
|
In ух^ + у^ = arctg —. |
(3) |
X |
|
РЕШЕНИЕ.
1. В данном случае F{x^ у) = In -s/x^ + y^ — arctg —. Вычисляем ее частные производные:
1 |
f • У \ |
^ + 2/ |
J.2 _^ у2 |
1 -f (у/ж)2 \ Ж^/ х'^+у'^ |
6.5. Производнал неявной функции |
139 |
Очевидно, что F{x,y), F^ и F' непрерывны при всех х j^O и |
Fyj^O |
при X ф у. Следовательно, уравнение (3) определяет функцию у(х), |
|
дифференцируемую во всех точках (жо, Уо) области, где х ф^тх |
ф у. |
2. Находим у' по формуле (2) |
|
Ответ, у = при всех жо, 2/о? удовлетворяющих уравне-
XQ - уо
ПИЮ (3), в области, где х ф О и х ф у.
Условия ЗАДАЧ. Найти производные функций у = у{х)^ заданных неявно уравнениями.
1.2/^ =хУ.
3.у = X -{-Iny.
5.х^е^^ - 2/^e^^ = 0 .
7.ysinx — cos(a: — 2/) = 0.
9.Ц-жу-1п(е^2/ + е-ху)^0.
Ответы.
, t/'^lniz-T/x^^-^
ху^~^—хУ Inx
у
З.у' = ^—.
^у-1
,2/2е2^-хе22/
Х'^е'^У — уе'^^
,_ У cos X Н- sin(x - ?/)
sm{x — y)—smx '
У
X
2. 2/ = 1 + 2/^.
4.ж + 2/ = е^~^-
6.х - у -\- arctg ?/ = 0.
8.sm{xy) — е^У — х'^у = 0.
10. х^ - 2а:у + т/^ + ж + ?/- 2 = 0.
, |
у^1п2/ |
|
|
1 — ху^~^ |
|
|
QX-У |
_ 2 |
^.у' |
= - |
-. |
^е^-2/ + 1
,1 + у2
|
|
у |
Q |
' _ |
^(^^ "^ ^^^ - ^^^ ^^) |
|
|
x{cosxy — е^У — х) |
^ |
, |
2у-2х-1 |
|
|
2^/ - 2ж + 1 |
140 |
Гл. 6. Функции нескольких переменных |
6.6.Касательная плоскость и нормаль к поверхности
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности^ заданной уравнением
в точке М{хо^уо^го).
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
Нормальный вектор к поверхности, заданной уравнением
|
F(x,y,z) |
|
= 0, |
в точке М(а:о,2/05^о) определяется формулой |
|||
п = grad F |
dF_ |
|
ар |
|
|
||
|
м I ^^ |
м |
9у м' 9z м |
Следовательно, уравнение касательной плоскости к данной поверх ности в точке М{хо^ уо, ZQ) есть
^'х|м(^ - ^о) + Fl\^ixo,yo,zo){y |
- Уо) + Fi\j^{z - ZQ) = О (1) |
|||
И уравнения нормали — |
|
|
|
|
Х-Хо |
у -уо |
Z- ZQ |
(2) |
|
F'\ |
F'\ |
F'\ |
||
|
||||
^х\м |
у\м |
z\M |
|
|
1.Находим частные производные F^, F^ и F^ в точке М(жо, Уо? ^^^о).
2.Подставляем найденные значения в уравнения (1) и (2) и запи сываем ответ.
ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ заданы только значения жо и ?/о, то координата ZQ ТОЧКИ М определяется из условия, что точка М принадлежит дан ной поверхности, т.е. F{xQ^yQ^ZQ) = 0.
ПРИМЕР. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением
z = xy,
в точке М(1,1).
6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхностей |
141 |
РЕШЕНИЕ. Запишем уравнение поверхности в виде xy — z = Oy т.е.
F = ху — Z.
Координаты точки М: XQ = 1 ш уо = 1. Координату ZQ опреде ляем из условия, что точка М принадлежит данной поверхности, т.е. F(l, 1, zo) = 0. Получаем ZQ = 1.
1. Находим частные производные F!^^ Fy и F^ в точке М(1,1,1):
F'l |
|
=v\ |
= 1 |
F'\ |
|
|
= х\ |
-1 |
F'\ |
|
=-1 |
|
^а:|(1Д,1) |
^^1(1,1,1) |
-^' |
^2/1(1,1,1) |
•^Kl.l^) •^' |
^^1(1,1,1) |
•^• |
||||||
2. Подставляя найденные значения в уравнения (1) и (2), получаем |
||||||||||||
уравнение касательной плоскости |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
l ( a : - l ) - f 1 ( г / - 1 ) - 1 ( г - 1 ) = 0 |
|
|
||||||||
и уравнения нормали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
X — 1 |
у — 1 |
2 — 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
"" |
1 |
^ |
- 1 |
|
|
|
|
Ответ. |
Уравнение касательной |
плоскости: |
х + у — z — 1 = 0. |
|||||||||
Уравнения нормали: |
х — 1=у |
— 1 = 1 — z. |
|
|
|
|||||||
Условия ЗАДАЧ. |
Найти |
уравнения |
касательной |
плоскости и |
||||||||
нормали к поверхности |
в заданной |
точке |
М. |
|
|
|
||||||
1. |
z = x2 + y2, |
М(1,-2,5). |
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Z = sin а; cos 2/, |
М(7г/4,7г/4,1/2). |
|
|
|
|
||||||
4. |
z = |
e=''=°^2', |
М(1,7г,1/е). |
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
z^ytgx, |
М(7г/4,1,1). |
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Z = arctg(x/2/), |
М(1,1,7г/4). |
|
|
|
|
||||||
7. |
x(y + z ) ( z - a ; j / ) = 8 , |
|
М(2,1,3). |
|
|
|
|
|||||
8. |
2^/^ + 2!//^ = |
8, |
М(2,2,1). |
|
|
|
|
|
||||
9. |
a;2 + y2 + z 2 - 1 6 = 0, |
М(2,2,2\/2). |
|
|
|
|||||||
10. x 2 + y 2 - z 2 - - l , |
М(2,2,3). |
|
|
|
|
|||||||