- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1.2. Коллинеарность векторов
- •1.3. Угол между векторами
- •1.4. Площадь параллелограмма
- •1.5. Компланарность векторов
- •1.6. Объем и высота тетраэдра
- •1.7. Расстояние от точки до плоскости
- •1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
- •1.9. Угол между плоскостями
- •1.10. Канонические уравнения прямой
- •1.11. Точка пересечения прямой и плоскости
- •1.12. Проекция точки на плоскость или прямую
- •1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости
- •2.1. Правило Крамера
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Понятие линейного пространства
- •2.4. Системы линейных уравнений
- •2.5. Линейные операторы
- •2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора
- •2.7. Действия с операторами и их матрицами
- •2.8. Преобразование координат вектора
- •2.9. Преобразование матрицы оператора
- •Глава 3. ПРЕДЕЛЫ
- •3.1. Понятие предела последовательности
- •3.5. Понятие предела функции
- •3.6. Понятие непрерывности функции в точке
- •4.1. Понятие производной
- •4.2. Вычисление производных
- •4.3. Уравнение касательной и нормали
- •4.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •4.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.6. Производная функции, заданной параметрически
- •4.7. Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
- •4.8. Производные высших порядков
- •4.9. Формула Лейбница
- •4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •5.1. Общая схема построения графика функции
- •6.1. Частные производные
- •6.2. Градиент
- •6.3. Производная по направлению
- •6.4. Производные сложной функции
- •6.5. Производная неявной функции
- •6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6.7. Экстремум функции двух переменных
- •7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала
- •7.2. Интегрирование по частям
- •7.3. Интегрирование рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
- •7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
- •7.5. Интегрирование рациональных функций с простыми комплексными корнями знаменателя
- •7.10. Интегрирование дифференциального бинома
- •8.2. Интегрирование по частям
- •8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений
- •8.12. Вычисление объемов тел вращения
- •9.1. Криволинейные интегралы первого рода
- •9.2. Криволинейные интегралы второго рода
- •10.1. Понятие суммы ряда
- •10.2. Первая теорема сравнения
- •10.3. Вторая теорема сравнения
- •10.4. Признак Даламбера
- •10.5. Признак Коши
- •10.6. Интегральный признак Коши
- •10.7. Признак Лейбница
- •10.8. Приближенное вычисление суммы ряда
- •10.9. Область сходимости функционального ряда
- •10.10. Область сходимости степенного ряда
- •10.11. Вычисление суммы ряда почленным интегрированием
- •10.12. Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием
- •10.13. Ряд Тейлора
- •11.3. Однородные уравнения
- •11.4. Линейные уравнения 1-го порядка
- •11.5. Уравнение Бернулли
- •11.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •11.10. Принцип суперпозиции
- •12.1. Изменение порядка интегрирования
- •12.2. Двойной интеграл в декартовых координатах
- •12.4. Интеграл в обобщенных полярных координатах
- •12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла
- •12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах
- •12.7. Вычисление площадей в полярных координатах
- •12.8. Вычисление массы плоской пластины
- •12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
- •12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •12.11. Тройной интеграл в сферических координатах
- •12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
- •12.13. Вычисление массы тела
- •13.1. Поверхностный интеграл первого рода
- •13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности
- •13.3. Интеграл по сферической поверхности
- •14.1. Векторные линии
- •14.2. Поток векторного поля
- •14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра
- •14.4. Поток векторного поля через часть сферы
- •14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского
- •14.6. Работа силы
- •14.7. Циркуляция векторного поля
- •14.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса
110 |
|
Гл. 4. Дифференцирование |
|
||||
3. |
X = y/Scost, |
|
. |
j |
x = t — t'^, |
|
|
y = smt, |
to = 7г/б. |
' |
\ y = t-t^, |
to = l. |
|||
|
|||||||
5. |
X=:tCOSt, |
|
|
j |
X = COS^t, |
|
|
у = tsint, |
to = 7г/2. |
* |
1^ 2/ = sin^ t, |
to — 7г/4. |
|||
|
|||||||
X = л / Г ^ , |
|
8 |
I |
^ " ^^^^ ^ ^^^' |
|
2/= arcsint, |
to = —1. |
|
\ |
2/ = ^rctgt, to = |
1. |
x = lntgt, |
|
in |
/ |
^ = ^sint + cost, |
|
7/ = l/sin^t, |
to ='7г/4. |
|
[ |
2/= sint — tcost, |
to = 7г/4 |
Ответы. |
|
|
|
|
|
||
1. |
|
2ж-22/-7г + 4 = 0, |
2ж + 2у-7г = 0. |
||||
2. |
2 / - 1 = 0, х - 3 = = 0 . |
|
|
||||
3. |
|
2а: + 2?/ - |
4 = О, |
2ж - 2у - 2 == 0. |
|||
4. |
|
2ж - 2/ = О, ж 4- 2^/ = 0. |
|
|
|||
5. |
|
Ах + 27Г2/ - |
7г^ ~ |
О, |
7ГЖ - |
2г/ + 7г = 0. |
|
6. |
|
2а; + 2г/ - |
\/2 = О, |
у - х = 0. |
|
||
7. |
|
2ж-2?/-7г = 0, |
2ж + 2уЧ-7г = 0. |
||||
8. |
|
2ж-42/Ч-7г-21п2 = 0, |
8х + 4?/- тг - 81п2 = 0. |
||||
9. |
2а: + у - 2 |
= 0, |
х - |
2?/+ 4 = 0. |
|
||
10. |
4а; - 42/ - |
7г\/2 = |
0, |
x-\-y-V2 |
= 0. |
||
4.8. Производные высших порядков
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную п-го порядка функции
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
Производной п-го порядка функции у = f{x) называют производ ную от производной порядка (п — 1), т.е.
j/(")(x)=2/(»-i)(a;)'.
1.Дифференцируем функцию у — f{x) последовательно несколько раз, пока не станет ясной формула для производной п-ого порядка.
2.Доказываем эту формулу методом математической индукции. Для этого проверяем, что она справедлива при п = 1, т.е. дает пра вильное значение /', и что дифференцирование выражения для /^"^^ эквивалентно замене п на п + 1.
4.8. Производные высших порядков |
111 |
ПРИМЕР. Найти производную п-го порядка функции у = 3^^"^^.
РЕШЕНИЕ.
1.Найдем последовательно
2/'(х) = (32^+1у = 32"+НЬЗ)2,
у'\х) |
= у'{хУ |
= (32^+1(1пЗ)2)' = 32^+1(1пЗ)222, |
у"\х) |
= у"{хУ |
= (32^+ПЬЗ)222)' = 32^+НЬЗ)323. |
Проанализировав эти выражения, делаем предположение, что 2/^^На:) = з2"+^(1пЗГ2^.
2. Докажем эту формулу методом математической индукции. Проверим, что она справедлива при п = 1^ т.е.
у^^\х) = г^''-^\1пЗ)2 = у'{х).
Дифференцирование f^'^^ эквивалентно замене п на п + 1, т.е.
у("Н^)' = (32^+Ч1пЗ)"2"У = з2^+'(1пЗ)"+'2^+^ = 2/^"+'Н^)-
Ответ, у^^'^х) = 32^+^(21пЗ)".
Условия ЗАДАЧ. Найти производные п-го |
порядка |
заданных |
||||||
функций. |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
у = sin2x-h созЗж. |
2. 2/= sin(3x +1) 4-cos2a:. 3 . ^ = 2^^. |
||||||
4. |
у = 1п(2ж + 4). |
5. 2/ = ^ - г . |
|
Q-y= |
^^ |
|||
|
|
|
|
|
х + 1 |
|
|
2а; + 3 |
7.у |
= 3^^+^ |
S.y |
= 1п(3ж + 1). |
|
9. у = 52^+^ |
|||
10.2/ |
= |
v^ . |
|
|
|
|
|
|
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
||
1. |
у(") = |
2^^ sin (2а: + ^ |
) |
+ 3^ cos (зх И- ^ |
) . |
|
|
|
|
|
|
Зх + 1 + — ] +2^cosf2x+ |
— |
j . |
|
||
3. |
yW = 23- (31п2)-. |
|
4. г/Н = ^ ~ ^ С ' ^ " ! ? ~ ^^'• |
|||||
у |
\ |
J |
у |
(2а;+ 4)^ |
112 |
Гл. 4. Дифференцирование |
||
^ |
(a;+l)"+i' |
^ |
(2a: + 3)"+i ' |
7. у(") = 32-+Ч21ПЗГ. |
8. 2/(») = ^"^CTSl~^^'- |
||
9. , И = 5^^+^ (21п5)Г |
10. ,W = ^"^Г("^^)^^^ |
||
4.9. Формула Лейбница
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную п-го порядка функции у = u{x)v{x).
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функции и{х) и v{x) имеют производные до п-го порядка включительно, то справедливы следующие формулы:
{uv)" = и"уЛ-2и'и' -Vuv",
{uvУ^' = u'"v + Ъи"у' + Zu'v" Л- uv'",
(ui;)(4) = u^^^v + Ы"'у' -f Ы"и" + 4.u'v'" + uv^^\
^ ( ^ - l ) „ . ( n - |
|
[uvf^^ = UWT; + nu("-i)^' + ^ |
^u^^-^^v" + ... + uv^""^ |
J2c'^u^-%^'\ |
(1) |
/c=0 |
|
7.! |
|
где u^^^ = It, v^^^ = V и C^ = , |. ^' j. 4| — биномиальные коэффици |
|
енты.
Формула (1) для п-й производной произведения называется фор мулой Лейбница.
Следовательно, для определения производной п-го порядка фун кции вида у = и{х)у(х) нужно вычислить все производные (до п-го порядка включительно) каждой из функций и{х) и v{x), биномиаль ные коэффициенты (7^ и воспользоваться формулой Лейбница.
ПРИМЕР. Найти производную 4-го порядка функции
4.9. Формула Лейбница |
113 |
РЕШЕНИЕ.
1.Применяем формулу Лейбница (1). В данном случае
|
|
|
п = 4, |
|
и{х) |
= ж^ -f 2, |
v{x) = е^^+^ |
|
|
|
|
||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и'{х) |
= 3х^, |
и''(х) |
= 6х, и"'{х) |
= д, |
и^'^\х) = 0, |
|
|||||||
г;'(х) - 4e^^+^ |
v"{х) |
= А''е^''^^ |
t;"'(^) = 4V^•^^ v^^\x) |
|
= |
^^е^^^\ |
|||||||||
Подставляя полученные результаты в формулу (1), получим |
|
||||||||||||||
У^- = ((^3 ^ |
2)е^^+3) ^^^ = О . е^^+^ + 4 . 6 - 4 . е^^+^ |
+ |
|
|
|
||||||||||
+ i^(6a:)4^e^^+3 ^ ^ ( З х ^ ) 4 3 е - ^ з |
_, l l l ; | l l ( . 3 + 2)4^е^^+^ = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
32е^^+3(8хЗ + 24а:2 + 18ж + 19). |
|||||||
Ответ. |
2/^^^ = 32е^^+3(8жЗ + 24^2 + 18х + 19). |
|
|
|
|
||||||||||
Условия ЗАДАЧ. Найти |
производные |
указанного |
порядка |
задан |
|||||||||||
ных |
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
2/ = |
(^^ + 1)1пх, |
|
у(^)=? |
2. |
2/ = |
(^3 +2) cos 2а:, |
2/'"=? |
|||||||
3. |
?/ = |
a:2sin(3a; + l), |
г/'"==? |
4. |
?/== (а;^ + |
l)cos3a;, |
2/(5)=? |
||||||||
5. |
у = |
(а:3 + ж)1пж, |
|
у'" =1 |
6. |
2/= |
(а:^ + |
1) 1п(а; + 2), |
2/^^)=? |
||||||
7. |
у = |
(х2 + 1)2^, |
у(5)=:? |
|
8. |
2/ = sin2xlnx, |
2/'"=? |
|
|||||||
9. |
у = |
(ж2 + 1)е2^+\ |
у(5)=? |
10. 2/= (х^ + 2)33^ |
у^^^ |
= ? |
|
||||||||
Ответы.
1. ,(5) . f! + 21.
х^
2. 2/'" = (8^2 - Збж + 16) sin 2х - (Збж^ - 6) cos 2х.
3. 2/'" = (18 - 27^2) cos(3a: + 1) - 542:sm(3x + 1).