3. Тотожні перетворення цілих виразів

№18.

1. Серед рівностей а)–в) вказати ту, що перетворюється у правильну числову рівність при підставленні замість букв будь-яких дійсних чисел (1–4):

1)    а) а + b = b; б) а + b = b + а; в) а + b = а  b.

2)    а) 3(а + 2) = 3а + 6; б) 3(а + 2) = 3а + 2; в) 3(а + 2) = а + 6.

3)    а) 0  а +5 = 0; б) 0  а + b = 0; в) 0  х + 5 = 5.

4)    а) 0  х + 0  у + 7 = 0; б) 0  х + 0  у = 0; в) 0  х + у = 0.

5) Як називають рівність, утворену двома цілими виразами, що перетворюється у правильну числову рівність при заміні букв будь-якими дійсними числами?

6) Як називають два цілі вирази, що утворюють тотожність?

7) Властивості яких двох арифметичних дій є основними тотожностями?

Чи можуть бути тотожно рівними (8–9):

8) цілий вираз зі змінною і число;

9) цілий вираз з двома змінними і цілий вираз з однією змінною?

2. Серед виразів а)–в) вказати тотожно рівний виразу:

1) 7(а – 2):

а) 7а – 2; б) 7 + а – 2; в) 7а – 14.

2) 5(х + 3):

а) 5х + 3; б) 5х + 15; в) х + 15.

3) :

а) 3а + 12; б) а + 12; б) а + 4;

4) :

а) ; б) 2b – 5; в) 2b – 20.

5) :

а) ; б) 3x + 2; в) .

6) –2a + 5a:

а) –7a; б) –3a; в) 3a;

7) –4x – x:

а) –3x; б) –4; в) –5x.

Серед виразів а)–в) вказати вираз, тотожно рівний числу:

8) 5:

а) 5а + b; б) 5а + 5b; в) 0  а + 5.

9) 7:

а) 7а + 7b; б) 0а + 0b + 7; в) a + b + 7.

10) 13:

а) 13x + 13y + 13; б) 13x + 13y; в) 0x + 0y + 13.

3. Розкрити дужки:

1) 3(а – 4); 2) 5(x + 2y);

3) –2(а + 3); 4) –7(x – 2y);

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Звести подібні доданки:

9) –7x + 10x; 10) –14а – 12а;

11) –8а + 13а + 2; 12) –4x – x + 3.

Подати число 15 у вигляді виразу:

13) зі змінною х; 14) зі змінною у;

15) зі змінними а і b; 16) зі змінними т і п.

Тренувальні вправи

№19.

Розкрити дужки:

1. 1) 9(а – 1); 2) 7(3b + 2); 3) –3(4x – 5); 4) –4(7x + 2).

2. 1) –(x – 3); 2) –(2a + 3); 3) –(5y – 2); 4) –(7x + 5).

3. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

№20.

Звести подібні доданки:

1. 1) –2x – 5x; 2) –7х – 3х; 3) –0,4х – 1,1х; 4) –1,5x – 0,1x.

2. 1) –а – 5а; 2) –b – 4b; 3) –c – 1,1c; 4) –m – 2,3m.

3. 1) 2а – 8а; 2) –3а + 9а; 3) –2,2а + 7,4а; 4) 5а – 6,8а.

4. 1) а – 4а; 2) b – 11b; 3) c – 2,3c; 4) m – 5,6m.

№21.

Спростити вираз:

1. 1) 2(x – 3) + 7; 2) 3(x + 5) – 8;

3) 5(x – 7) + 30; 4) 6(x – 3) + 20.

2. 1) –(2x + 5) – 3х; 2) –(4x – 7) + 3х;

3) –(3x – 9) – х; 4) –(7x + 3) + 2х.

3. 1) –3(2а – 1) – 4а; 2) –5(4а + 3) + 18а;

3) –6(5а – 1) – а; 4) –7(2а – 3) + а.

І. РІВНЯННЯ

Тема. Рівняння з однією змінною

• Поняття про рівняння з однією змінною

• Рівносильні перетворення цілих рівнянь з однією змінною

Виклад теорії

1. Поняття про рівняння з однією змінною

Рівність зі змінною, складену для знаходження усіх значень змінної, при яких вона перетворюється у правильну числову рівність, називають рівнянням з однією змінною.

Рівняння є символічним записом задач на знаходження усіх значень змінної, при яких значення даного виразу зі змінною дорівнює значенню іншого виразу з цією ж змінною або деякому числу.

Вираз, записаний у рівнянні ліворуч від знака рівності («=»), називають лівою частиною рівняння, а вираз, записаний праворуч — правою частиною. Змінну у рівнянні називають також невідомим, а рівняння з однією змінною інакше називають рівнянням з одним невідомим. Змінна (невідоме) може входити в обидві частини рівняння або тільки в одну.

Якщо обидві частини рівняння є цілими виразами, то і рівняння називають цілим. Одна з частин цілого рівняння може бути і числом, оскільки число — цілий вираз.

Приклади.

1. 4x – 3 = x;  = x + 1; x² – 5 = 4; x(x + 3) =  — рівняння зі змінною x.

2. x² – 3x = 4x – 1; x(x + 1) = 3x — рівняння, у яких змінна x входить в обидві частини.

3. x(x + 3) = 4; 4x = 3; x(x – 1) = 0;  = 1 — рівняння, у яких змінна входить тільки в ліву частину, а права є числом.

4. 2x – 3 = 4x + 3; x(x – 3) = 70; 4x² – 3x + 5 = 0 — цілі рівняння зі змінною x.

5. 5y² = 0; 8y = y; y(y + 2) = y² – 1; 9y³ + 5 = 0 — цілі рівняння зі змінною y.

6.   = x + 3; (4x + 3)x =  ; — рівняння з однією змінною, які не є цілими (дробові рівняння).

Значення змінної, при якому рівняння перетворюється у правильну числову рівність, називають коренем або розв’язком рівняння.

Приклад.

Число 5 є коренем рівняння 4x = x + 15, бо якщо x = 5, то дане рівняння перетворюється у правильну числову рівність: , тобто 20 = 20.

Щоб встановити, чи є дане число коренем рівняння, потрібно:

• підставити замість змінної у рівняння дане число;

• знайти значення частин рівняння.

Якщо значення лівої і правої частин рівняння рівні, то число є коренем рівняння.

Якщо ж значення лівої і правої частин рівняння не рівні, то число не є коренем рівняння.

Існують рівняння з однією змінною, які:

• не мають коренів;

• мають один корінь;

• мають скінченне число коренів (більше ніж один);

• мають безліч коренів.

1. Рівняння 0 · x = –20 не має коренів: при будь-якому значенні x ліва частина рівняння дорівнює 0, а права частина завжди не дорівнює нулю.

2. Рівняння 4x = 48 має один корінь — число 12, бо тільки при цьому значенні вираз 4x дорівнює 48.

3. Рівняння (x – 1)(x – 3)(x – 5) = 0 має три корені — числа 1, 3 і 5.

4. Рівняння 0 · x = 0 має безліч коренів: будь-яке число є його коренем, оскільки добуток числа 0 і будь-якого числа завжди дорівнює 0 — правій частині рівності.

Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.