Тренувальні вправи

№236.

Побудувати графік рівняння:

1. 1) y = 2x; 2) y = –3x; 3) y = 4x; 4)  .

2. 1) x + y = 1; 2) x – y = 6; 3) x – 2y = 6; 4) 2x – y = 4.

3. 1) x = 4; 2) x = –5; 3) 2x = 5; 4) –3x = 18.

4. 1) y = 3; 2) y = –4; 3) 2y = 7; 4) –4y = 20.

Завдання для самоперевірки

№237. Варіант 1

1. Вказати, що є графіком рівняння:

1) x = 10; 2) y = 4x; 3) y = –7.

Пряма, яка ...

а) проходить через початок координат; б) перетинає вісь x і перпендикулярна до неї; в) перетинає вісь y і перпендикулярна до неї.

2. Серед рівнянь а)–е) вказати три, графіки яких перпендикулярні:

1) до осі x:

а) x = 0,8; б) y = 4x; в) y = 2; г) x + 0y = 7; д) y = –3; е) x = –3;

2) до осі y:

а) y = 6; б) x = 5; в) y = 0,7; г) y = 4x; д) x = 3; е) 0x + y = 12.

3) Серед точок а)–е) вказати три, які належать графіку рівняння x + y = 7:

а) (0; 7); б) (0; 0); в) (3; 4); г) (1; 6); д) (6; 2); е) (7 ; 1).

3. Побудувати графік рівняння:

1) y = 4; 2) x + 0y = –6.

3) Дано рівняння y = 3x. Знайти значення y, якщо x = 0 та x = 2 і побудувати графік рівняння.

№238. Варіант 2

1. Вказати, що є графіком рівняння:

1) x = 7; 2) y = –4; 3) y = 2x.

Пряма, яка ...

а) проходить через початок координат; б) перетинає вісь x і перпендикулярна до неї; в) перетинає вісь y і перпендикулярна до неї.

2. Серед рівнянь а)–е) вказати три, графіки яких перпендикулярні:

1) до осі x:

а) x = 3; б) x + 0y = 10; в) y = 4; г) 0x + y = 7; д) 2x + 0y = –3; е) 2x + 3y = 7;

2) до осі y:

а) y = 10; б) 0x + y = 4; в) x = 5; г) x + y = 5; д) 0x – 2y = 10; е) x – y = 1.

3) Серед точок а)–е) вказати три, які належать графіку рівняння x + y = 5:

а) (3; 2); б) (6; 1); в) (6; –1); г) (4; 3); д) (4; 2); е) (0 ; 5).

3. Побудувати графік рівняння:

1) x = 3; 2) 0x + y = –3.

3) Дано рівняння y = 2x. Знайти значення y, якщо x = 0 та x = 3 і побудувати графік рівняння.

Відтворення і застосування теорії

Завдання на відтворення

№239.

Середній рівень

1. Сформулювати означення розв’язку рівняння з двома змінними.

2. Дати означення рівносильних рівнянь. Записати рівняння рівносильне рівнянню:

1) х + 2у = 5; 2) 0х + 0у = 5.

3. Дати означення лінійного рівняння з двома змінними. Навести приклад лінійного рівняння першого степеня з двома змінними.

4. Що є графіком лінійного рівняння першого степеня з двома змінними?

Достатній рівень

1. 1) Пояснити, чому лінійні рівняння виду 0х + 0у = с, де с — відмінне від нуля, не мають розв’язків.

2) Пояснити, чому графіком лінійного рівняння 0х + 0у = 0 є вся координатна площина.

2. 1) Сформулювати правило розпізнавання пари чисел (х₀; у₀) як розв’язків лінійного рівняння ах + bу = с.

2) Сформулювати правило знаходження за значенням числа х₀ у розв’язку рівняння відповідного йому значення у. Назвати два послідовні перетворення, що виконують для вираження з лінійного рівняння ах + bу = с:

а) змінної х через змінну у: , якщо ;

б) змінної у через змінну х: , якщо .

Високий рівень

1. Записати рівняння двох прямих, які є графіком рівняння (х – а)(у + b) = 0.

2. Частиною якої прямої є графік рівняння , якщо:

1)  ; 2) ?

Завдання на застосування

№240. Варіант 1

Середній рівень

1. 1) Встановити, які з пар чисел (1; 5); (3; 4); (7; –1) є розв’язками рівняння х + у = 6.

2) Побудувати графік лінійного рівняння х + у = 5.

2. Виразити з рівняння 2х + у = 6 змінну у через змінну х і знайти три розв’язки рівняння.

3. Побудувати графік рівняння 3х + у = 4.

Достатній рівень

1. 1)  Виразити з рівняння 3х – 4у = 2 змінну х через змінну у і знайти три розв’язки рівняння.

2) Побудувати графік рівняння 2х + 3у = 10.

2. Встановити, при якому значенні а пара чисел (3; –2) є розв’язком рівняння 3х – ау – 4 = 0.

3. Побудувати графік рівняння .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік рівняння .

2) Знайти розв’язки лінійного рівняння 3х + 2у = 12, у яких значення х та у — протилежні числа.

2. Побудувати графік рівняння (х – у)(х + 2у) = 0.

3. Побудувати графік рівняння x – у = 5.

№241. Варіант 2

Середній рівень

1. 1) Встановити, які з пар чисел (2; 3); (1; 3); (6; –2) є розв’язками рівняння х + у = 4.

2) Побудувати графік лінійного рівняння х – у = 2.

2. Виразити з рівняння 2х + у = 5 змінну у через змінну х і знайти три розв’язки рівняння.

3. Побудувати графік рівняння 2х + у = 1.

Достатній рівень

1. 1) Виразити з рівняння 5х + 4у = 11 змінну х через змінну у і знайти три розв’язки рівняння.

2) Побудувати графік рівняння 3х – 2у = 4.

2. При якому значенні с графік рівняння 2х + су = 11 проходить через точку (2; –1)?

3. Побудувати графік рівняння .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік рівняння .

2) Знайти розв’язки (х₀; у₀) лінійного рівняння 5х – 2у = 7, для яких виконується умова .

2. Побудувати графік рівняння (х + 2)(х – 3у) = 0.

3. Побудувати графік рівняння x – х = у.

№242. Варіант 3

Середній рівень

1. 1) Встановити, які з пар чисел (7; 2); (2; 7); (1; –4) є розв’язками рівняння х – у = 5.

2) Побудувати графік лінійного рівняння х + у = 3.

2. Виразити з рівняння –4х + у = 7 змінну у через змінну х і знайти три розв’язки рівняння. 

3. Побудувати графік рівняння 2х – у = 1.

Достатній рівень

1. 1) Виразити з рівняння 2х + 3у = 5 змінну х через змінну у і знайти три розв’язки рівняння.

2) Побудувати графік рівняння 5х + 4у = 12.

2. Встановити, при якому значенні с пара чисел (8; –1) є розв’язком рівняння 2х + 3у + с = 0.

3. Побудувати графік рівняння .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік рівняння .

2) Знайти розв’язки (х₀; у₀) лінійного рівняння 2х + 5у = 18, для яких виконується умова .

2. Побудувати графік рівняння (y – 3)(х + 4у) = 0.

3. Побудувати графік рівняння x + х = у.

№243. Варіант 4

Середній рівень

1. 1) Встановити, які з пар чисел (11; 1); (1; 11); (9; –1) є розв’язками рівняння х – у = 10.

2) Побудувати графік лінійного рівняння х + у = 4.

2. Виразити з рівняння –5х + у = 2 змінну у через змінну х і знайти три розв’язки рівняння.

3. Побудувати графік рівняння 3х – у = 1.

Достатній рівень

1. 1) Виразити з рівняння 3х + 10у = 9 змінну х через змінну у і знайти три розв’язки рівняння.

2) Побудувати графік рівняння 2х + 3у = –4.

2. Знайти значення а в рівнянні ах + 5у = 1, якщо відомо, що його графік проходить через точку (3; –4).

3. Побудувати графік рівняння .

Високий рівень

1. 1) Побудувати графік рівняння .

2) Знайти розв’язки (х₀; у₀) лінійного рівняння 4х – 3у = 12, у яких значення х₀ та у₀ рівні.

2. Побудувати графік рівняння (y – 1) (х – 2у) = 0.

3. Побудувати графік рівняння x + у = 4.

Тема 12. Системи лінійних рівнянь Із двома змінними

• Поняття про систему рівнянь із двома змінними

• Графічний спосіб розв’язання системи двох лінійних рівнянь із двома змінними

Алгебраїчні способи розв’язування систем лінійних рівнянь

• Спосіб підстановки

• Спосіб додавання

Виклад теорії

1. Розв’язок системи рівняння. Графічний спосіб розв’язування

Якщо метою розв’язування двох рівнянь є знаходження їхніх спільних розв’язків, то кажуть, що рівняння утворюють систему. У таких випадках рівняння записують за допомогою фігурних дужок: «{».

Приклад.

— запис системи рівнянь.

Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи у правильну числову рівність.

Приклад.

Пара чисел (2; 3) є розв’язком системи оскільки, якщо x = 2; y = 3, то кожне рівняння перетворюється у правильну числову рівність: 2 + 3 = 5; 5 = 5; 4 · 2 + 3 = 11; 11 = 11.

Щоб встановити, чи є задана пара чисел (x₀; y₀) розв’язком системи рівнянь із двома змінними, потрібно:

• у кожному рівнянні замість x підставити його значення x₀, а замість y — його значення y₀.

Якщо кожна з утворених числових рівностей правильна, то пара чисел (x₀; y₀) є розв’язком системи. Якщо хоча б одна з рівностей є неправильною, то пара чисел (x₀; y₀) не є розв’язком системи.

Розв’язати систему означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Щоб розв’язати графічно систему лінійних рівнянь, у кожному з яких хоча б один з коефіцієнтів не дорівнює нулю, потрібно:

• побудувати прямі, які є графіками кожного з рівнянь;

• якщо прямі перетинаються, то система має один розв’язок — координати точки перетину (x₀; y₀);

• якщо прямі не перетинаються, то система рівнянь не має розв’язків;

• якщо прямі збігаються, то рівняння рівносильні; система має безліч розв’язків; кожен розв’язок одного з рівнянь є розв’язком системи.