Початкове вивчення теорії Навчальні завдання

1. Загальне поняття про рівняння з двома змінними

№213. 

1. 1) Як називається рівність 3х – 4у² + ху = 7?

2) Чим є ліва частина рівняння з двома змінними х² – 3х + ху = 7?

Вказати степінь многочлена, який міститься у лівій частині рівняння (3–6):

3) x + y² + y = 5:

а) перший; б) другий; в) нульовий.

4) 4x + 3y = 12.

5) 0x + 7y = 8.

6) 0x + 0y = 12.

2. 1) Серед записів а)–е), у яких х, у, z — змінні, вказати три, які є рівняннями з двома змінними.

а) 3х + 5у = 4; б) 3х + 5 = 4; в) 3ху + z = х²; г) у² + уz = 9; д) х² + 4у = х +1; е) уz + 4х² = 7.

2) Серед рівнянь а)–е) вказати три, в яких ліва частина є многочленом.

а) х² + ху – 3= 10; б)  + х = 3; в) (х² + ху)(х + 1) = 17; г) 5х – 3у = 7; д) (х – 3)(х + у +1) = 14; е) ху = 100.

3) Серед рівнянь із двома змінними а)–е) вказати три рівняння, у яких ліва частина є многочленом другого степеня:

а) х² + ху – 7х = 9; б) х² + у = 16; в) 5х + 7у = 9; г) 0х – 13у = 9; д) х²у – 3х = 7; е) ху = 12.

4) Серед рівнянь із двома змінними а)–е) вказати три рівняння, у яких ліва частина є многочленом першого степеня:

а) 4х + 5у = 3; б) 4х + 0у = 9; в) 0х + 0у = 10; г) 4х² + 3у = 9; д) 0х + 7у = 12; е) 0х + 7у² = 14.

3. Записати три рівняння з двома змінними (1–3):

1) x та y. 2) x та z. 3) y та z.

Записати три рівняння з двома змінними x та y, у яких права частина є числом, а ліва — многочленом:

4) першого степеня; 5) другого степеня;

6) третього степеня.

№214. 

1. 1) Як називається пара значень змінних х та у (5; 2), при яких рівняння х – у = 3 перетворюється у правильну числову рівність (5 – 2 = 3)?

а) Коренем рівняння; б) розв’язком рівняння.

2) Деяке рівняння з двома змінними х та у за умови, що х = –3 й у = 4, перетворюється у правильну числову рівність. Як скорочено записують розв’язок рівняння?

а) (–3; 4); б) (4; 3); в) [–3; 4].

3) Доповнити запис розпізнавання пари чисел як розв’язку рівняння з двома змінними.

Щоб встановити, чи є задана впорядкована пара чисел (х₀; у₀) розв’язком рівняння х² – у² = 8 із двома змінними х та у, потрібно у рівняння підставити замість х його значення ____, а замість у — ___; встановити числове значення лівої частини рівняння. Якщо значення лівої і правої частин _______, то пара чисел (х₀; у₀) є розв’язком рівняння , якщо їхні значення ________, то пара чисел (х₀; у₀) не є розв’язком рівняння.

4) Що означає розв’язати рівняння із двома змінними?

а) Знайти хоча б один розв’язок; б) знайти деякі розв’язки; в) знайти всі розв’язки або довести, що розв’язків немає.

2. Серед пар чисел а)–в) вказати пару, яка є розв’язком рівняння із двома змінними (1–3):

1) x + y = 5:

а) (5; 1); б) (4; 2); в) (2; 3).

2) x – y = 1:

а) (3; 4); б) (1; 2); в) (6; 5).

3) 2x + y = 5:

а) (1; 5); б) (0; 5); в) (3; 1).

4) Серед пар чисел а)–е) вказати три, які є розв’язками рівняння х – у = 3:

а) (10; 7); б) (10,1; 7,1); в) (10; 8); г) (11; 8); д) (7; 10); е) (1; 4).

5) Серед рівнянь а)–е) вказати три рівняння, для яких пара чисел (3; 1) є розв’язком:

а) х – у = 2; б) х² + у = 10; в) х – у = 4; г) х² + у = 12; д) 2х + у = 5; е) 2х + у = 7.

Вказати, скільки розв’язків має рівняння (6–9):

6) 0x + 0y = –5, у якого ліва частина за будь-яких значень x та y дорівнює 0, а права дорівнює –5:

а) безліч; б) жодного; в) один.

7) x² + y² = –1, у якого ліва частина за будь-яких значень x та y є невід’ємним числом, а права — від’ємним числом:

а) безліч; б) жодного; в) один.

8) x² + y² = 0, у якого ліва частина дорівнює 0 за умови, що x = 0 та y = 0:

а) безліч; б) жодного; в) один.

9) x – y = 0:

а) безліч; б) жодного; в) один.

3. Записати три розв’язки рівняння (1–3):

1) x – y = 3. 2) xy = 100. 3) x + y = 20.

Навести три приклади рівнянь, які (4–6):

4) мають безліч розв’язків.

5) мають один розв’язок;

6) не мають розв’язку.

№215. 

Серед рівнянь а)–г) вказати рівняння, розв’язком якого є...

1) будь-яка пара чисел x та y, сума яких дорівнює 4:

а) х – у = 4; б) у – х = 4; в) х + у = 4; г) ху = 4.

2) будь-яка пара чисел, у якої перше число (x) більше від другого (y) на 4:

а) х + у = 4; б) у · х = 4; в) х – у = 4; г)  = 4.

3) будь-яка пара чисел, сума квадратів яких дорівнює 4:

а) (х + у)² = 4; б) х² – у² = 4; в) х² + у² = 4; г) х² + у² + 2ху = 4.

4) будь-яка пара рівних чисел:

а) х – у = 0; б) х + у = 0; в)  = 0.

5) будь-яка пара протилежних чисел:

а) х – у = 0 ; б) х + у = 0; в)  = 1.

6) будь-яка пара обернених чисел:

а) х + у = 0; б) ху = 0; в) ху = 1.

№216. 

Скласти рівняння з двома змінними, розв’язками якого є...

1) будь-яка пара чисел, сума яких дорівнює 4;

2) будь-яка пара чисел, у якої перше число більше від другого на 5;

3) будь-яка пара чисел, у якої друге число більше від першого на 5;

4) будь-яка пара чисел, добуток яких дорівнює 20;

5) будь-яка пара чисел, у якої відношення першого числа до другого дорівнює 2;

6) будь-яка пара чисел, у якої відношення другого числа до першого дорівнює 2.

Для кожного з рівнянь (1–6) записати три розв’язки.