2. Основні властивості додавання і множення дійсних чисел
Основними діями з дійсними числами є дії додавання і множення. Для цих дій виконуються такі властивості (закони).
Властивості додавання дійсних чисел
1. Для будь-яких дійсних чисел а і b існує число а + b, що є їх сумою.
2. Переставна властивість: для будь-яких дійсних чисел а і b а + b = b + a.
3. Сполучна властивість: для будь-яких дійсних чисел а, b і c (а + b) + c = a + (b + c).
4. Існування протилежного числа: для будь-якого дійсного числа а існує число, протилежне до нього, яке позначають –а і а + (–а) = 0. Для числа 0 протилежним є число 0.
5. Властивість нуля: для будь-якого дійсного числа а а + 0 = a.
Приклади.
1.
Для числа
протилежним є число
,
.
2. Для числа –0,(3) протилежним є число 0,3.
Властивості множення дійсних чисел
1. Для будь-яких дійсних чисел а і b існує число а b, що є їх добутком.
2. Переставна властивість: для будь-яких дійсних чисел а і b a b = b a.
3. Сполучна властивість: для будь-яких дійсних чисел а, b і c (a b) c = a (b c).
4. Розподільна властивість: для будь-яких дійсних чисел а, b і c (a + b) c = a b + b c.
5. Властивість числа 0: для будь-якого дійсного числа а а 0 = 0.
6. Властивість числа 1: для будь-якого дійсного числа а а 1 = а.
7. Існування
оберненого числа: для будь-якого дійсного
числа а, відмінного від 0, існує
обернене до нього число, яке позначається
і
.
Для числа 0 оберненого числа не існує.
Приклади.
Для
числа 5 оберненим є число
;
для числа
оберненим є число
,
тобто
;
для числа 0,2 оберненим є число 5
(0,2 5 = 1).
3. Віднімання, ділення і піднесення дійсних чисел до степеня з натуральним показником
Дії віднімання і ділення дійсних чисел зводяться відповідно до дій додавання і множення дійсних чисел.
Означення. а – b = a + (–b), тобто щоб від числа а відняти число b, потрібно до числа a додати число, протилежне до числа b.
Приклади.
5 – 7 = 5 + (–7) = –2; 7 – (–9) = 7 + 9 = 16; а – (–b) = a + b.
Означення.
а : b = a 
(де b 0),
тобто щоб число а поділити на відмінне
від нуля число b, потрібно число a
помножити на число
.
Приклади.
1.
а : 5 = а
=
а;
с : 
= с 
= 3,5с.
2.
3 : с = 3 
(де с 0).
Якщо а і
b — дійсні числа і b 0,
то завжди існує число
,
що є їх часткою.
Якщо а і b — дійсні числа і b = 0, то дія ділення не виконується і запис не має смислу (змісту).
Степінь дійсного числа з натуральним показником
Якщо а — дійсне число, то добуток п множників, кожний з яких дорівнює а, називають п степенем числа а і записують ап.
(n —
натуральне
число, n 1).
Дія піднесення дійсних чисел до степеня з натуральним показником є окремим випадком дії множення, вона зводиться до виконання скінченого числа дій множення.
Приклади.
1. 25 = 2 2 2 2 2 = 32.
2. а4 = а а а а.
3. b b b b b = b5.
4. (–3) (–3) (–3) (–3) = (–3)4 = 81.
Дії додавання, множення, віднімання, ділення і піднесення до степеня з натуральним показником називають арифметичними діями.
Початкове вивчення теорії Навчальні завдання
1. Поняття дійсного числа
№1.
1. 1) Як називають числа, які можна подати у вигляді дробу , де т — ціле число, п — натуральне число?
2) Як називають числа, які не можна подати у вигляді дробу , де т — ціле число, п — натуральне число?
Яким числом — раціональним чи ірраціональним — є...
3) натуральне число 8;
4) ціле число — 13;
5) нескінченний неперіодичний десятковий дріб 0,2021222324…;
6) нескінченний періодичний десятковий дріб 0,433333…;
7) скінчений
десятковий дріб 0,123; дробове число
;
8) звичайний
дріб
?
2. Серед дійсних чисел а)–е) вказати три числа, які є...
1) раціональними числами:
а)
; б)
0,(3); в) 0,12131415…;
г) –17; д)
0,123456…; е) 10,13579111315…
2) ірраціональними числами:
а) 6,1357911…; б) 2,(6); в) 0,(23); г) 7,(123); д) 10,111213141516…; е) 0,2468101214…
Серед записів а)–в) вказати той, у якому подано раціональне число:
3) 15:
а)
; б)
; в)
.
4) 
:
а)
; б)
; в)
.
5) 0,013:
а)
; б)
; в)
.
3. Записати три дійсних числа у вигляді…
1) нескінченного періодичного дробу;
2) нескінченного неперіодичного дробу.