Виклад теорії
1. Поняття про лінійне рівняння з однією змінною
При виконанні рівносильних перетворень рівнянь з метою їх спрощення у багатьох випадках отримують рівняння виду ax = b, де x — змінна, a і b — деякі числа (5x = 4; –7x = 3; 0,1x = 4).
Зокрема, до рівнянь такого виду зводять розв’язування рівнянь, у яких обидві частини є лінійними виразами. Наприклад, рівняння 4x – 7 = 5x + 6; 3x – 4 = 2x; 7x = 6x – 2; 5x + 7 = 0.
Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду ax = b, де x — змінна, a і b — числа.
Приклади.
1. 4x = 12;
;
0,1x = 6 — лінійні рівняння зі
змінною x.
2. 9y = 27,
— лінійні рівняння зі змінною y.
Якщо у лінійному рівнянні ax = b коефіцієнт a 0, то рівняння ax = b називають рівнянням першого степеня.
Приклад.
4x = 12;
0,1x = 14;
— рівняння першого степеня.
У лінійному рівнянні ax = b ліва та права частини є окремими випадками лінійних виразів.
Зауваження. У літературі лінійним рівнянням інколи називають рівняння виду ax + b = 0.
2. Розв’язування лінійних рівнянь
Якщо
до лінійного рівняння першого степеня
ax = b
застосувати правило ділення рівняння
на число, відмінне від нуля, одержимо
рівносильне йому рівняння x = b : a
або x = 
,
яке має тільки один корінь — число
.
Число
є єдиним коренем лінійного рівняння
ax = b
(a 0).
Приклад.
Коренем рівняння 3x = 2 є число .
Якщо в рівнянні
ax + b = 0
(a 0)
перенести доданок b
у праву частину, то одержимо рівняння
ax = –b.
Оскільки a 0,
то за правилом ділення на число, відмінне
від нуля, одержимо рівняння x = 
,
яке має єдиний корінь
— число
.
Отже, коренем рівння ax + b = 0
(a 0)
є число
.
Приклад.
Коренем
рівняння 3x + 2 = 0
є число
.
Лінійне рівняння 0 · x = 0. Коренем лінійного рівняння 0 · x = 0 є будь-яке число, оскільки при будь-якому значенні x ліва частина рівняння дорівнює 0 і рівняння перетворюється у правильну числову рівність 0 = 0.
Лінійне рівняння 0 · x = с (c 0). Оскільки ліва частина рівняння при будь-якому значенні x дорівнює 0, а права частина — числу c, відмінному від 0, то не існує таких значень змінної x, при яких утвориться правильна числова рівність. Отже, лінійне рівняння виду 0 · x = с (c 0) не має коренів.
Рівняння 0 · x = 2; 0 · x = –0,4; 0 · x = не мають коренів.
3. Рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь з однією змінною
Щоб звести рівняння вигляду ax + bx = c, де x — змінна, a, b і с — числа, до лінійного, потрібно звести подібні доданки у лівій частині.
Приклад.
–7x + 12x = 15; 5x = 15.
|
Щоб звести рівняння вигляду ax + b = cx + d, де x — змінна, a, b, с і d — числа, до лінійного за правилами рівносильних перетворень, потрібно: |
перенести доданок cx у ліву частину, помінявши його знак, а доданок b — у праву частину, помінявши його знак (одержимо ax – cx = d – b);
звести подібні доданки (одержимо (a – c)x = d – b).
Приклад.
15x – 3 = 8x + 39; 15x – 8x = 39 + 3; 7x = 42.
|
Щоб звести
рівняння вигляду
|
,
де x — змінна, a,
b, с, m і
n — числа, до лінійного за
правилами рівносильних перетворень,
потрібно:помножити обидві частини рівняння на добуток чисел a і b або на їх найменше спільне кратне;
розкрити дужки у лівій частині рівняння та звести подібні доданки;
перенести доданок, який не містить змінної, з лівої частини рівняння у праву.
Приклад.
.
Помножимо обидві частини рівняння на
15 і розкриємо дужки:
;
3(3x + 5) – 5(x + 1) = 15;
9x + 15 – 5x – 5 = 15;
4x + 10 = 15; 4x = 5;
x = 5 : 4; x = 1,25.
За означенням модуля числа, якщо x – a = b, то x – a = b і x – a = –b. Тому рівняння виду x – a = b, де b > 0, рівносильне сукупності двох рівнянь x – a = b і x – a = –b. Отже, розв’язками даного рівняння є числа x1 = b + a, x2 = –b + a.
Приклад.
Рівняння x – 4 = 10 рівносильне сукупності двох рівнянь x – 4 = 10 і x – 4 = –10, тобто його корені дорівнюють x1 = 10 + 4 = 14, x2 = –10 + 4 = –6.
Рівняння виду x – a = b, де b < 0, не має коренів за означенням модуля, оскільки ліва частина рівняння при будь-яких значеннях x є невід’ємним числом, а права — від’ємним числом.
Приклад.
Рівняння x + 5 = –3 не має коренів.
Рівняння виду x – a = 0 має один корінь x = a, оскільки рівняння перетворюється у правильну числову рівність тоді і тільки тоді, коли x – a = 0.
Приклад.
x – 3 = 0, x – 3 = 0, x = 3.