2. Розв’язування системи лінійних рівнянь способом підстановки

Основою алгебраїчних способів розв’язування системи лінійних рівнянь є виконання рівносильних перетворень рівнянь, які дозволяють перейти до рівняння з однією змінною.

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь способом підстановки, потрібно:

• виразити з одного рівняння одну змінну через іншу (наприклад, x через y);

• підставити у друге рівняння замість однієї змінної її вираз через іншу змінну (замість змінної x її вираз через змінну y);

• розв’язати утворене рівняння, яке містить тільки одну змінну (рівняння зі змінною y);

• знайти значення іншої змінної за її виразом з першого рівняння.

Спосіб підстановки зручно застосовувати тоді, коли один із коефіцієнтів дорівнює 1 і виражати змінну з цим коефіцієнтом через іншу змінну.

Приклад.

Розв’язати систему рівнянь способом підстановки.

Розв’язування

1. Виразимо з першого рівняння системи змінну x через змінну y: x = y + 3.

2. Підставимо у друге рівняння системи замість змінної x її вираз через y: y + 3 і розв’яжемо утворене рівняння: 2(y + 3) + 3y = 11; 2y + 6 + 3y = 11; 5y = 11 – 6; 5y = 5; y = 1.

3. За формулою x = y + 3 знаходимо значення x: x = 1 + 3; x = 4.

4. (4; 1) — розв’язок системи рівнянь.

3. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом додавання

Щоб розв’язати способом додавання систему лінійних рівнянь з протилежними коефіцієнтами біля однієї зі змінних, потрібно:

• почленно додати ліві і праві частини рівнянь системи;

• розв’язати утворене рівняння з однією змінною;

• знайти відповідне значення іншої змінної.

Приклад.

Розв’язати систему рівнянь способом додавання.

Розв’язування

1. Почленно додаємо рівняння системи: 6x = 30.

2. Розв’яжемо рівняння: 6x = 30; x = 5.

3. Знаходимо значення y з першого рівняння системи: 5 – 6y = 17; –6y = 17 – 5; –6y = 12; y = –2.

4. (5; –2) — розв’язок системи рівнянь.

Щоб розв’язати способом підстановки будь-яку систему лінійних рівнянь, потрібно:

• підібрати до кожного рівняння (чи одного з них) множники так, щоб після множення рівнянь на них коефіцієнти біля однієї зі змінних стали протилежними числами;

• помножити почленно на множники рівняння системи;

• додати почленно ліві та праві частини рівнянь системи;

• розв’язати утворене рівняння з однією змінною;

• знайти відповідне значення іншої змінної.

Приклад.

Розв’язати систему рівнянь способом додавання.

Розв’язування

1. Домножимо друге рівняння системи на –2: –40x + 14y = –10.

2. Почленно додаємо рівняння утвореної системи : 3y + 14y = 10 + (–10).

3. Розв’яжемо рівняння: 17y = 0; y = 0.

4. Знаходимо значення x із першого рівняння системи: 40x = 10; x =  .

5.  — розв’язок системи рівнянь.

Початкове вивчення теорії

Навчальні завдання

1. Розв’язок системи рівнянь. Графічний спосіб розв’язування системи двох лінійних рівнянь

№244. 

1. 1) Який із записів а)–в) є системою двох лінійних рівнянь із двома змінними?

а) б) в)

2) Як називається пара чисел (5; 2), при якій перетворюється у правильну числову рівність кожне з рівнянь системи

3) Доповнити запис.

Щоб встановити, чи є задана пара чисел (х₀; у₀) розв’язком системи рівнянь із двома змінними, потрібно у кожному рівнянні замість х підставити ___, а замість у підставити ____.

Якщо кожна з утворених числових рівностей правильна, то пара чисел (х₀; у₀) _________, якщо хоча б одна з числових рівностей неправильна, то пара чисел (х₀; у₀) _______________.

4) Що означає розв’язати систему рівнянь?

а) Знайти хоча б один розв’язок; б) знайти деякі розв’язки; в) знайти всі розв’язки або довести, що розв’язків немає.

2. Вказати систему числових рівностей, яка утвориться після підстановки пари чисел (1; 3) у систему рівнянь

а) б) в)

3. Встановити, чи є розв’язком системи рівнянь:

1) пара чисел (3; 5).

2) пара чисел (6; 2).

3) пара чисел (4; –1).

4) пара чисел (–2; 3).

№245. 

1. Скільки розв’язків має система лінійних рівнянь, якщо прямі — графіки рівнянь (1–3)...

1) перетинаються; 2) паралельні; 3) збігаються?

2. За графіком системи рівнянь вказати її розв’язки (1–4):

1)  (рис. 33).

2)  (рис. 34).

3)  (рис. 35).

16* А. Капіносов. Алгебра. 7 кл. Сист. курс

4)  (рис. 36).

Рис. 33	Рис. 34	Рис. 35	Рис. 36

3. Розв’язати графічно систему за планом:

а) знайти координати двох точок прямої, що є графіком рівняння у = х – 1; обчислити за формулою у = х – 1 значення у₁ і y₂, що відповідають х₁ = 1 і х₂ = 4;

б) точки А (1; y₁) і В (4; y₂), де y₁ і y₂ — знайдені числа, позначити на координатній площині і провести через них пряму;

в) знайти координати двох точок прямої, що є графіком рівняння х + 3у = 9. Наприклад, обчислити координати точок С і D, в яких відповідно х = 0 й у = 0;

г) точки С(0; y₂) і D(x₂; 0), де y₂ і x₂ — знайдені числа, позначити на координатній площині і провести пряму CD;

д) знайти точку перетину прямих і записати відповідну пару чисел, що є розв’язком системи.