а14* А. Капіносов. Алгебра. 7 кл. Сист. Курс
) Яка з координат (абсциса чи
ордината) однакова у будь-яких двох
точок, що зображають розв’язки
рівняння?
б) Записати розв’язки
рівняння, що зображують точки А, В і С.
Тренувальні вправи
№221.
1. Встановити, чи є розв’язком рівняння:
1) х – у = 4 пари чисел (9; 5) і (3; 7);
2) х + 2у = 12 пари чисел (0; 6) і (6; 0);
3) 2х + 3у = 6 пари чисел (0; 2) і (2; 0);
4) 2х – 5у = 30 пари чисел (15; 0) і (0; -6).
2. Виразити змінну у через змінну х з рівняння:
1) х + у = 12; 2) –х + у = 8; 3) 4х + 2у = 5; 4) 3х + 5у = 15.
3. Виразити змінну х через змінну у з рівняння:
1) х – у = 11; 2) х + у = –4; 3) 2х + 4у = 5; 4) 3х – 2у = 6.
Тема 11. ЛінійнЕ рівняння з двома змінними
Поняття про лінійне рівняння з двома змінними та його розв’язування
Графік лінійного рівняння з двома змінними
Виклад теорії
1. Лінійне рівняння з двома змінними та його розв’язування
|
Лінійним рівнянням з двома змінними називають рівняння виду ax + by = c, де x та y — змінні, a, b і c — числа. a і b називають коефіцієнтами біля змінних, с — вільним членом. |
Зауваження. У літературі лінійними рівняннями часто називають і рівняння виду ax + by + c = 0.
Приклади.
1. 5x + 3y = 4, 2x – 7y = 0, 0x + 5y = 12, 0x + 0y = 5 — лінійні рівняння зі змінними x та y.
2. 5y + 3z = 8, 6y – 2z = 0, 0y – 3z = 7 — лінійні рівняння зі змінними y та z.
3. 5a + 3b = 4, 2a – 7b = 0, 0a + 5b = 13 — лінійні рівняння зі змінними a та b.
Для позначення змінних у лінійних рівняннях із двома змінними найчастіше вживають змінні x та y.
Лівою частиною лінійного рівняння ax + by = c є многочлен ax + by із двома змінними x та y, а права частина — число c. Якщо у многочлені ax + by хоча б один з коефіцієнтів не дорівнює 0, то він є многочленом першого степеня, відповідно рівняння ax + by = c називають рівнянням першого степеня.
Рівняння з двома змінними виду ax + by = c називають рівнянням першого степеня з двома змінними, якщо у ньому хоча б один з коефіцієнтів не дорівнює 0.
Приклади.
1. 2x + 3y = 4, 2x – 3y = 7, 0,1x – 4y = 0 — лінійні рівняння першого степеня, у яких обидва коефіцієнти біля змінних не дорівнюють 0.
2. 0x + 4y = 17, 2x + 0y = 7, 0,1x + 0y = 0 — лінійні рівняння першого степеня, у яких один з коефіцієнтів біля змінних дорівнює 0.
3. 0x + 0y = 0, 0x + 0y = 1, 0x + 0y = –2 — лінійні рівняння, які не є рівняннями першого степеня.
|
Розв’язком лінійного рівняння виду 0x + 0y = 0 є будь-яка пара чисел. |
Оскільки за будь-яких значень x та y многочлен 0x + 0y дорівнює 0, то лінійне рівняння 0x + 0y = 0 можна розглядати і як тотожність.
Лінійне рівняння виду 0x + 0y = c, де c — число, відмінне від нуля, розв’язків не має, оскільки ліва частина дорівнює нулю, а права — відмінна від нуля.
Приклад.
Рівняння 0x + 0y = 7, 0x + 0y = –7, 0x + 0y = 0,1 не мають розв’язків.
|
Розв’язування рівнянь виду ax + 0y = c зводиться до знаходження розв’язку лінійного рівняння ax = c, оскільки 0y = 0. |
Приклади.
1. Розв’язками рівняння x + 0y = 10 є пари чисел, у яких x = 10, а y — довільне число, тобто (10; y0), де y0 — будь-яке дійсне число. Наприклад, пари чисел (10; 0), (10; 1), (10; –4,7), ... є розв’язками даного рівняння.
2. У рівнянні 2x + 0y = –18 для будь-якого значення y значення x є розв’язком рівняння 2x = –18, тобто x = –9. Записати всі розв’язки можна так: (–9; y0), де y0 — будь-яке дійсне число.
Розв’язком
рівняння виду ax + 0y = c,
де a 0,
є будь-яка пара чисел, у якій значення
змінної x дорівнює
,
а значення y — будь-яке
число.
|
Розв’язком
рівняння виду 0x + by = c,
де b 0,
є будь-яка пара чисел, у якій значенням
x є будь-яке число, а значення y
дорівнює
|
.Приклад.
Розв’язком рівняння 0x + 2y = 20 є будь-яка пара чисел, у якій x — будь-яке число, а y є розв’язком рівняння 2y = 20; y = 10, тобто (x0 ; 10), де x0 — будь-яке дійсне число. Наприклад, розв’язками рівняння є пари чисел (0; 10), (1; 10), (–7; 10), (–1,44; 10).
|
Щоб знайти для деякого значення x0 відповідне йому значення y0 таке, щоб пара (x0; y0) була розв’язком лінійного рівняння ax + by = c, потрібно: |
підставити у дане рівняння замість x число x0: ax0 + by = c;
розв’язати відповідне лінійне рівняння зі змінною y; корінь цього рівняння y0 і буде шуканим значенням y.
Приклад.
Дано лінійне рівняння 2x + 5y = 15. Знайти розв’язок рівняння зі значенням x = 10.