2. Поняття про цілі вирази

Вирази зі змінними поділяють на класи залежно від дій, що входять у них.

Вирази, у яких містяться тільки арифметичні дії (додавання, множення, віднімання, ділення) і степені з натуральним показником та дужки, називають раціональними виразами.

У раціональні вирази може входити тільки одна з арифметичних дій (наприклад, множення) або кілька чи всі дії.

Раціональними виразами вважають також і всі вирази, що не містять дій.

Приклади.

1. а; ab – 3; 2a – b – c; x² – 4x; (a + 4)  7; — раціональні вирази.

2. Вирази ; не є раціональними, оскільки містять дії, відмінні від арифметичних дій.

Цілими раціональними виразами, або просто цілими виразами, називають раціональні вирази, які не містять ділення на вираз зі змінними.

Цілі вирази можуть містити ділення на число, відмінне від 0.

Цілими виразами вважають також вирази, що не містять знака дій.

Приклади.

1. 5  а; a + 10; x² – 4x; — цілі вирази.

2. 5а³; 5ab² + 4; x² – y³ + 7 — цілі вирази, що містять степені з натуральними показниками.

3. ; ; ху : 4 — цілі вирази, що містять ділення на число, відмінне від 0.

4. Цілими є вирази зі змінною х: 2х +5; –4х + 7; 0,1х – 3. Усі вирази виду ах + b, де х — змінна, а і b — деякі числа, називають лінійними відповідно змінної х.

У курсі алгебри 7 класу ми вивчатимемо цілі вирази, різні їх види, а також рівності, утворені з допомогою цілих виразів — тотожності і рівняння.

Раціональні вирази, що містять ділення на вираз зі змінними, називають дробовими. Такі вирази подані для вивчення у 8 класі.

Приклади.

1. ; ; ; — дробові вирази з однією змінною.

2. ; ; ; — дробові вирази з двома змінними.

Основна властивість цілих виразів зі змінними

Числові значення цілих виразів існують при будь-яких значеннях змінних.

Приклади.

1. Числові значення цілих виразів 5а; 9 – 5a; — існують при будь-яких дійсних значеннях змінної a.

2. Числові значення цілого виразу 7а + 3b — існують при підставлянні замість букв a і b будь-яких дійсних чисел.

3. Числове значення дробового виразу не існує, якщо а = 3, оскільки вираз не має смислу.

Цілий вираз, який при будь-яких значеннях змінних набуває одного і того ж числового значення, називають постійним. Цілий вираз, який при будь-яких значеннях змінних дорівнює 0, називають нульовим виразом, або нуль-виразом.

Приклади.

1. Значення виразу 0 · x + 5 при будь-яких значеннях змінної x дорівнює 0.

2. Значення виразів 0x, y – y, 0ab при будь-яких значеннях змінних дорівнює 0. Отже, 0x, y – y, 0ab — нульові вирази.

Основою обґрунтування тотожностей та виведення нових тотожностей є властивості додавання і множення дійсних чисел (переставна, сполучна, розподільна, властивості чисел 0 та 1). Рівності, що виражають ці властивості, називають основними тотожностями. При вивченні (дослідженні) алгебраїчних об’єктів вони виконують таку ж роль, як і аксіоми при вивченні геометричних фігур.

Тотожним перетворенням, або просто перетворенням виразу, називають його заміну тотожно рівним виразом.

Тотожні перетворення виразів виконують з метою спрощення виразів — зменшення числа дій або змінних у виразі. Заміна виразу спрощеним виразом дозволяє раціоналізувати, спростити обчислення його значень і вчиняти інші дії над ним.

Основними перетвореннями цілих виразів є розкриття дужок і зведення подібних доданків.

Приклади.

1. Розкрити дужки: .

Вирази і 4а + 5b є тотожно рівними.

2. Звести подібні доданки.

–2а + 5а = а  (–2 + 5) = а  3 = 3а.

–9х – 14х = –23х.

Основні тотожності дозволяють виконувати і зворотні перетворення цілих виразів: вводити нові змінні, перетворювати числа, змінні у вирази, що містять дії.

Приклади.

1. Число 5 можна подати, наприклад, як вираз зі змінною: 5 + 0  х.

Будь-яке число можна перетворити у вираз, що містить змінні. Тому окремі числа, вирази, які не містять знаків дій, також вважають виразами.

2. Вираз х можна замінити тотожно рівним виразом із двома змінними, наприклад, х + 0у.