13* А. Капіносов. Алгебра. 7 кл. Сист. Курс

1. а) 10³ – а³; б) х³ + 4³.

2. 64 – а³.

3. 1 + 27a³.

Достатній рівень

Розкласти на множники (1–2):

1. а) 125а³ – 8b³; б) а⁵ – а³ (три множники).

2. –3 – 24а³.

3. Розв’язати рівняння (х + 2) (х² – 2х + 4) = 35.

Високий рівень

1. Розкласти на множники вираз (а + 5)³ – (a – 5)³.

2. Обчислити раціональним способом .

3. Довести, що а⁷ + b⁷ = (a + b) (а⁶ – а⁵b + а⁴b² – a³b³ + a²b⁴ – ab⁵ + b⁶).

Контроль навчальних досягнень учнів

№209. Варіант 1

Середній рівень

Розкласти на множники (1–2):

1. а) 7 (а + b) – x(a + b); б) a² – 12a + 36); в) х² – 100 .

2. a³ – 10а² + a – 10.

3. Розв’язати рівняння:

а) х³ – 64х = 0; б) х² + 16х + 64= 0.

Достатній рівень

1. 1) Розкласти на множники:

а) а⁴ + 2а³ – 27a – 54; б) 4x⁵ – 40х⁴ + 100x³.

2) Обчислити значення виразу , використавши формули скороченого множення.

2. Розкласти на множники 4а² + 9b² – 12аb – 49.

3. Розв’язати рівняння х² – 36 = 6 – х.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

a) аb² + b² y + ax + xy + b² + x; б) 16 – а² + 2ab – b²; в) х⁴ + х + 3х³ + 3х² (чотири множники).

2. Розв’язати рівняння 4х³ + 3 = 3х² + 4х.

3. Розкласти тричлен а² + 2ab – 15b² на множники двома способами:

а) заміною середнього члена сумою двох доданків; б) виділенням повного квадрата двочлена.

№210. Варіант 2

Середній рівень

Розкласти на множники (1–2):

1. а) 9(а – b) – m (a – b); б) a² – 8a + 16; в) х² – 36.

2. b³ – 4b² + b – 4.

3. Розв’язати рівняння:

а) х³ – 36х = 0; б) х² – 10х + 25= 0.

Достатній рівень

1. 1) Розкласти на множники:

а) а⁴ – 5а³ – 8a + 40; б) 5x⁴ – 30х³ + 45x².

2) Обчислити значення виразу , використавши формули скороченого множення.

2. Розкласти на множники а² – 16b² + 5а – 20b.

3. Розв’язати рівняння х² + 49 = 14х + 9.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

a) а²b + ab² + ac + ab + bc + c; б) 25 – а² + 4ab – 4b²; в) х⁴ + 8х + 6х³ + 12х² (чотири множники).

2. Розв’язати рівняння 2х³ + 16 = х² + 32х.

3. Розкласти тричлен а² + 2ab – 8b² на множники двома способами:

а) заміною середнього члена сумою двох доданків; б) виділенням повного квадрата двочлена.

№211. Варіант 3

Середній рівень

Розкласти на множники (1–2):

1. а) 11 (а – c) – x (a – c); б) a² – 6a + 9; в) b² – 121 .

2. c – 8 + c³ – 8c².

3. Розв’язати рівняння:

а) х³ – 49х = 0; б) х² + 6х + 9= 0.

Достатній рівень

1. 1) Розкласти на множники:

а) а⁴ + 2b³ – 1000b – 2000; б) 9x⁵ – 180х⁴ + 900x³.

2) Обчислити значення виразу , використавши формули скороченого множення.

2. Розкласти на множники а² + 16b² – 8аb – 25.

3. Знайти значення змінної х, при яких вирази х² – 16 і –х – 4 набувають однакових значень.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

a) by² + 4by + cy² + 4cy + 4c + 4b; б) 36x² – 4a² + 12ab – 9b²; в) х⁴ – 8х – 6х³ + 12х² (чотири множники).

2. Знайти значення змінної х, при яких вирази x³ – 3x² і х – 3 набувають однакових значень.

3. Розкласти тричлен а² + 6ab + 8b² на множники двома способами:

а) заміною середнього члена сумою двох доданків; б) виділенням повного квадрата двочлена.

№212. Варіант 4

Середній рівень

Розкласти на множники (1–2):

1. а) m (c – d) – 9 (c – d); б) a² – 24a + 144; в) 9 – b².

2. b³ + 5b² + b + 5.

3. Розв’язати рівняння:

а) х³ – 81х = 0; б) х² – 18х + 81= 0.

Достатній рівень

1. 1) Розкласти на множники:

а) а⁴ + 3a³ – 64a – 192; б) 7x⁶ – 42х⁵ + 63x⁴.

2) Обчислити значення виразу , використавши формули скороченого множення.

2. Розкласти на множники 4а² – 9b² + 10а – 15b.

3. Знайти значення змінної х, при яких вирази х² + 25 і 10х + 1 набувають рівних значень.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

a) ax² + 2ax + bx² + 2bx + b + a; б) 36 – 4a² + 20ab – 25b²; в) х⁴ – 27х + 3х³ – 9х² (чотири множники).

2. Знайти значення змінної х , при яких вирази x³ + 25 і x² – 25х набувають однакових значень.

3. Розкласти тричлен а² – 2ab + 8b² на множники двома способами:

а) заміною середнього члена сумою двох доданків; б) виділенням повного квадрата двочлена.

ІV. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ

Тема. Рівняння з двома змінними

• Поняття про рівняння з двома змінними

• Рівносильні перетворення цілих рівнянь із двома змінними

• Графік рівняння з двома змінними

Виклад теорії

1. Поняття про рівняння з двома змінними

Рівність із двома змінними, складену для знаходження усіх пар значень змінних, при яких вона перетворюється у правильну числову рівність, називають рівнянням із двома змінними.

Змінні у рівнянні можуть входити в обидві його частини або лише в одну.

Рівняння з двома змінними, у яких обидві частини є цілими виразами, називають цілими рівняннями.

Приклади.

1. x² + y² = x³ + 1; x⁴ + 5xy + y⁴ = xy; (x + y)(x – y) = x² + 1 — рівняння з двома змінними, у які змінні входять в обидві частини.

2. x⁴ + x²y – 3x = 0; x² + y² = 16; (x + y)(x – y) – x² = 1 — рівняння з двома змінними, у яких ліва частина є многочленом, а права — числом.

3. 4a² + 5b² = ab; 5a + 4b = 7; a³ + b³ = 7a + b — рівняння з двома змінними a і b.

4. 5x² + 4y² = x² + y; 5x + 4y = 7; xy = x; — цілі рівняння з двома змінними.

5. Рівняння ; ; не є цілими (одна з частин або обидві містять ділення на вираз зі змінною).

Розв’язком рівняння з двома змінними називають впорядковану пару значень змінних, яка перетворює це рівняння у правильну числову рівність.

Якщо за умови, що x = x₀ та y = y₀ рівняння із двома змінними x та y перетворюється у правильну числову рівність, то пара чисел x₀ та y₀ є розв’язком рівняння і його коротко записують так: (x₀; y₀). У розв’язку рівняння з двома змінними x та y на першому місці записують значення x, а на другому — значення y.

Приклад.

Рівняння 2x + y = 8, якщо x = 4 та y = 0, перетворюється у правильну числову рівність 2 · 4 + 0 = 8; 8 = 8. Отже, ці значення утворюють розв’язок рівняння — (4; 0). Якщо, наприклад, x = 0 та y = 4, то рівняння 2x + y = 8 не перетворюється у правильну числову рівність: 2 · 0 + 4 = 4; 4  8. Отже, пара (0; 4) не є розв’язком даного рівняння.

Щоб встановити, чи є задана впорядкована пара чисел (x₀; y₀) розв’язком рівняння зі змінними x та y , потрібно:

• підставити у рівняння замість x його значення x₀, а замість y — його значення y₀;

• встановити числове значення лівої та правої частин рівняння.

Якщо значення лівої та правої частин рівні, то пара чисел (x₀; y₀) є розв’язком рівняння; якщо їхні значення не рівні, то пара чисел (x₀; y₀) не є розв’язком рівняння.

Розв’язати рівняння з двома змінними означає знайти всі його розв’язки або довести, що їх немає.

Існують рівняння з двома змінними, які:

• не мають розв’язків;

• мають один розв’язок;

• мають скінченне число розв’язків;

• мають безліч розв’язків, однак не будь-яка пара чисел є їхніми розв’язками;

• мають безліч розв’язків, причому будь-яка пара чисел є їхнім розв’язком.

Приклади.

1. Рівняння x² + y² + 2 = 0 не має розв’язків, оскільки при будь-яких значеннях x ліва частина рівняння є додатним числом, а права частина дорівнює нулю, тобто рівняння не може перетворитися у правильну числову рівність за жодного зі значень x та y.

2. Рівняння x² + y² = 0 має тільки один розв’язок — пару чисел (0; 0), оскільки при будь-яких інших значеннях x ліва частина рівняння є додатним числом.

3. Рівняння x – y = 0 має безліч розв’язків, оскільки за будь-яких рівних між собою значень x та y воно перетворюється у правильну числову рівність. Наприклад, розв’язками рівняння є пари чисел (2; 2), (2,5; 2,5), (–11; –11).

4. Рівняння 0 · x + 0 · y = 0 перетворюється у правильну числову рівність за будь-яких значень x та y. Тому його можна розглядати як тотожність.