Тренувальні вправи

№191. 

Подати у вигляді квадрата суми чи різниці двох виразів:

1. 1) z² – 2z + 1; 2) y² – 2y + 1; 3) n² – 6n + 9; 4) n² + 10n + 25.

2. 1) z² + 9 + 6z; 2) y² + 25 – 10y; 3) n² + 16 + 8n; 4) n² + 16 – 8n.

3. 1) 4z² + 9 + 12z; 2) 4z² – 12z + 9; 3) 25y² + 1 – 10y; 4) 25y² + 10y + 1.

4. 1) 9m² – 6m + 1; 2) 9m² + 1 + 6m; 3) 81a² + 1 + 18a; 4) 81a² – 18a + 1.

5. 1) a⁴ + 2a² + 1; 2) a¹⁰ + 2a⁵ + 1; 3) a⁶ – 2a³ + 1; 4) a²⁰ – 2a¹⁰ + 1.

Завдання для самоперевірки

№192. Варіант 1

1. 1) Серед виразів а)–в) вказати повний квадрат двочлена a + c.

а) a² + с²; б) a² + 2ac + c²; в) a² – 2ac + c².

Вказати правильну відповідь:

2) a² + 2am + m² = ...:

а) a² + m²; б) (a + m)²; в) (a – m)².

3) a² – 2an + n² = ...:

а) a² – n²; б) (a + n)²; в) (a – n)².

2. Вказати правильну відповідь:

1) z² + 2z + 1 = ...:

а) z + 1; б) (z + 1)²; в) z² + 1.

2) p² – 10p + 25 = ...:

а) (p – 5)²; б) (p + 5)²; в) p² – 5².

3) 9m² + 6m + 1 = ...:

а) (6m + 1)²; б) (9m + 1)²; в) (3m + 1)².

3. Подати у вигляді квадрата двочлена:

1) m² + 16m + 64. 2) n² + 100 – 20n.

3) 4p² + 20p + 25.

№193. Варіант 2

1. 1) Серед виразів а)–в) вказати повний квадрат двочлена a – c.

а) a² – с²; б) a² + 2ac + c²; в) a² – 2ac + c².

Вказати правильну відповідь (2–3):

2) a² + 2ap + p² = ...:

а) a² + p²; б) (a + p)²; в) (a – p)².

3) x² – 2xy + y² = ...:

а) x² – y²; б) (x + y)²; в) (x – y)².

2. Вказати правильну відповідь (1–3):

1) m² – 2m + 1 = ...:

а) (m – 1)²; б) (m – 2)²; в) (m + 1)².

2) z² + 12z + 36 = ...:

а) (z + 12)²; б) (z + 36)²; в) (z + 6)².

3) 25m² – 10m + 1 = ...:

а) (5m – 1)²; б) (25m – 1)²; в) (10m – 1)².

3. Подати у вигляді квадрата двочлена:

1) m² – 14m + 49. 2) n² + 81 + 18n.

3) 16p² + 80p + 100.

Відтворення і застосування теорії

Завдання на відтворення

№194.

Середній рівень

Записати формулу розкладання на множники виразу:

1) a² – с²; 2) a² + b² + 2аb; 3) a² + b² – 2аb.

Достатній рівень

Довести формулу розкладання на множники:

1) різниці квадратів двох виразів;

2) тричлена a² + b² + 2аb;

3) тричлена a² + b² – 2аb.

Завдання на застосування

№195. Варіант 1

Середній рівень

Розкласти на множники (1–3):

1. а) a² – 25; б) a² + 25 + 10а; в) a² + 25 – 10а.

2. а) 4a² – 25b²; б) a² – 12аb + 36b².

3. а) a³ – 25а; б) 4a² + 12аb + 9b².

4. Розв’язати рівняння:

а) х² – 49 = 0; б) х² – 6х + 9 = 0.

Достатній рівень

1. 1) Розкласти на множники:

а) 100b² – 81a²; б) 5a⁴ + 10а² + 5.

2) Обчислити раціональним способом 7,6² – 6,4².

Розкласти на множники:

2. (a – 36)² – 1.

3. а) а² – 25b² + a + 5b; б) а² – 10ab + 25b² – 1.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

а) (2а + 3)² – (a – 1)²; б) 16 – с² + a² – 8а.

2. Розв’язати рівняння: х³ + 25х = 10х².

3. Розкласти многочлен х² + 6х + 8 на множники виділенням повного квадрата двочлена і використанням формули різниці квадратів.

№196. Варіант 2

Середній рівень

Розкласти на множники (1–3):

1. а) a² – 49; б) a² + 49 + 14а; в) a² + 49 – 14а.

2. а) 4a² – 49b²; б) a² – 10аb + 25b².

3. а) a³ – 49а; б) 4a² + 20аb + 25b².

4. Розв’язати рівняння:

а) х² – 36 = 0; б) х² + 10х + 25 = 0.

Достатній рівень

1. 1) Розкласти на множники:

а) 16b⁴ – 25с²; б) 72a⁴ + 24а²b² + 2b⁴.

2) Обчислити раціональним способом 17,5² – 2,5².

Розкласти на множники:

2. (3a + 4b)² – 9c².

3. а) х² – 49у² + х – 7у; б) а² – 2ab + b² – 4.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

а) (3а + 2b)² – (a + b)²; б) 36 + 20xy – 4x² – 25y².

2. Розв’язати рівняння: х³ – 6х² = –9х.

3. Розкласти многочлен х² – 12х + 32 на множники виділенням повного квадрата двочлена і використанням формули різниці квадратів.

№197. Варіант 3

Середній рівень

Розкласти на множники (1–3):

1. а) a² – 81; б) a² + 81 – 18а; в) a² + 81 + 18а.

2. а) 25a² – 81b²; б) a² + 16аb + 64b².

3. а) a³ – 81а; б) 9a² – 30аb + 25b².

4. Розв’язати рівняння:

а) х² – 81 = 0; б) х² + 18х + 81 = 0.

Достатній рівень

1. 1) Розкласти на множники:

а) 81b⁴ – 64с⁶; б) 100х⁴ – 20х²у² + у⁴.

2) Обчислити раціональним способом 4,1² – 3,1².

Розкласти на множники:

2. 4 – (a + 4)².

3. а) а² – 49b² + a + 7b; б) x² – a² – 12a– 36.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

а) 4 (а + b)² – 9 (a – b)²; б) 25а² – 4x² – 9y² + 12xy.

2. Довести, що коли добуток двох натуральних чисел, одне з яких на 2 більше за інше, збільшити на 1, то одержимо число, яке є квадратом деякого натурального числа.

3. Розкласти на множники многочлен х² – 10х + 24.

№198. Варіант 4

Середній рівень

Розкласти на множники (1–3):

1. а) т² – 64; б) т² + 64 – 16т; в) т² + 64 + 16т.

2. а) 9т² – 64п²; б) a² + 6аb + 9b².

3. а) т³ – 64т; б) 25a² + 30аb + 9b².

4. Розв’язати рівняння:

а) х² – 64 = 0; б) х² – 16х + 64 = 0.

Достатній рівень

1. 1) Розкласти на множники:

а) 16b⁴ – 25с²; б) 3а⁴ – 36а²b² + 108b⁴.

2) Обчислити раціональним способом 5,75² – 2,25².

Розкласти на множники:

2. 36а² – (b + 4)².

3. а) а² – 100b² – a + 10b; б) 25х² – b² + 12b– 36.

Високий рівень

1. Розкласти на множники:

а) 16 (а – b)² – 25 (a + b)²; б) аc – bc – a² + 2ab – b².

2. Довести, що коли добуток чотирьох послідовних натуральних чисел збільшити на 1, то одержимо квадрат деякого натурального числа.

3. Розкласти на множники многочлен х² – 8х + 15.

Тема 10. Різниця та сума кубів двох виразів

• Формула різниці кубів

• Формула суми кубів

Виклад теорії

1. Формула різниці кубів

Тричлени a² + b² + ab і a² + ab + b² називають неповним квадратом двочлена a + b.

Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми:

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).

Приклади.

1. a³ – 5³ = (a – 5)(a² + 5a + 25) = (a – 5)(a² + 5a + 25).

2. b³ – 8 = b³ – 2³ = (b – 2)(b² + 2b + 4).

3. 125c³ – 1 = (5c)³ – 1³ = (5c – 1)((5c)² + 5c · 1 + 1²) = (5c – 1)(25c² + 5c + 1).

4. a¹⁵ – 27 = (a⁵)³ – 3³ = (a⁵ – 3)(a¹⁰ + 3a⁵ + 9).