11* А. Капіносов. Алгебра. 7 кл. Сист. Курс

3. Подати добуток (a + b +c + d)(a + b – c – d) у вигляді многочлена, використавши формули скороченого множення.

ІІІ. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ

Тема 8. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки та способом групування

• Спосіб винесення спільного множника за дужки

• Спосіб групування

Виклад теорії

1. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки

Розкладанням многочлена на множники називають подання його у вигляді добутку многочленів.

Приклади.

1. 5a + 5b + 5 = 5(a + b + 1).

2. a⁵ – a² = a²(a³ – 1).

3. 5(x + y) – z(x + y) = (5 – z)(x + y).

4. x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Основою розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки є розподільні закони множення відносно додавання і віднімання:

a · b + a · c = a · ( b + c), a · b – a · c = a · ( b – c)

Правила розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки

Якщо члени многочлена мають спільний множник, то його записують перед дужками, а в дужках — усі члени многочлена, поділені на цей множник.

Приклади.

1. ab + ad = a(b + d).

2. ma² + mb = m(a² + b).

3. abc + abm + ab = ab(c + m + 1).

Якщо числові коефіцієнти членів многочлена мають спільний дільник, то за дужки виносять число, яке є найбільшим спільним дільником, а коефіцієнти усіх членів ділять на нього.

Приклади.

1. 15a + 45b = 15(a + 3b).

2. 3 + 6a + 15c = 3(1 + 2a + 5c).

3. 12a – 18b = 6(2a – 3b).

Якщо всі члени многочлена мають степені однієї змінної, то за дужки виносять степінь змінної з найменшим показником, а кожен член многочлена ділять на цей степінь.

Приклади.

1. x⁵ + x³ = x³(x^5–3 + 1) = x³(x² + 1).

2. a¹² + 5a⁴ = a⁴(a⁸ + 5) (бо a¹² : a⁴ = a⁸).

3. x¹⁰ + 5x⁸ + 3x² = x²(x⁸ + 5x⁶ + 3).

2. Розкладання многочленів на множники способом групування

Спосіб групування використовують тоді, коли групи членів многочлена мають спільні множники:

• виносять за дужки спільний множник кожної групи членів;

• виносять за дужки спільний множник утворених добутків.

Приклади.

1. 7a – 7b + ma – mb = 7(a – b) + m(a – b) = (a – b)(7 + m).

2. a³ – 2a² + 4a – 8 = a²(a – 2) + 4(a – 2) = (a – 2)(a² + 4).

3. a³ + 14 + 2a² + 7a = a³ + 7a + 2a² + 14 = a(a² + 7) + 2(a² + 7) = (a² + 7)(a + 2).

Початкове вивчення теорії Навчальні завдання

1. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки

№163. 

1. Назвати спільний множник членів многочлена (1–3):

1) ab + 5a; 2) aт – bm; 3) a²b + 5b + bc.

4) Як називають подання многочлена у вигляді добутку двох чи більше многочленів?

2. Серед виразів а)–в) вказати розклад на множники двочлена чи тричлена способом винесення за дужки спільного множника:

1) ab + 5a = …:

а) a(b + 5); б) a(b + 5a); в) a(ab + 5);

2) ab + b = …:

а) b(a + b); б) b(ab + b); в) b(a + 1);

3) mx – m = …:

а) m(x – m); б) m(x + 1); в) m(x – 1);

4) 2a + 5ab = …:

а) a(2 + 5b); б) a(2 + 5ab); в) a(2a + 5b);

5) –2a – 5ab = …:

а) –a(–2 – 5b); б) –a(2 + 5b); в) –a(2a + 5ab).

3. Розкласти многочлен на множники способом винесення за дужки спільного множника:

1) ax – ay; 2) mn + n;

3) bc – cd; 4) ac – c;

5) 3a + 7ab; 6) –4a – 5ab.

№164. 

1. Назвати найбільший спільний дільник коефіцієнтів членів многочлена (1–4):

1) 3a + 3m:

а) 1; б) 3; в) 9;

2) 5a + 15b:

а) 5; б) 15; в) 1;

3) 14a + 21b:

а) 14; б) 21; в) 7;

4) 16a + 12c:

а) 12; б) 4; в) 3.

5) Якщо всі коефіцієнти членів многочлена мають спільний дільник, то за дужки виносять їхній...

а) найменший спільний дільник;

б) найбільший спільний дільник;

в) найменше спільне кратне.

2. Серед виразів а) – в) вказати розклад на множники многочлена:

1) 5х + 5у = …:

а) 5(х + 5у); б) 5(х + у); в) 5(5х + у);

2) 6т + 9у = …:

а) 3(2т + 9у); б) 3(6т + 3у); в) 3(2т + 3у);

3) 15а + 10с = …:

а) 5(3а + 2с); б) 5(3а + 10с); в) 5(3а + с).

3. Розкласти многочлен на множники:

1) 7x + 7y; 2) 8c – 8a; 3) 5a + 15b; 4) 21a – 7c;

5) 4a – 8; 6) 5 – 15b; 7) 3 + 3x; 8) 12a + 8c;

9) 12a – 8; 10) 15x + 9y; 11) 14a – 21b; 12) 14 + 21b.

№165. 

1. Назвати член многочлена, який містить змінну a з найменшим показником:

1) a + a² + a³:

а) а; б) а³;

2) a⁴b – a¹²c:

а) а⁴b; б) –а¹²c;

3) a³b + a²c;

4) a⁴b + a³b² + a²b³.

2. Серед виразів а)–в) вказати розклад на множники многочлена винесенням за дужки степеня з найменшим показником:

1) b² + b = …:

а) b(b + 1); б) b²(2b + 1); в) b²(b + 1);

2) x³ – x⁴ = …:

а) x³(x – 1); б) x³(1 – x); в) 3x(x – 1);

3) x⁸ – 3x² = …:

а) x²(x⁴ – 3); б) x²(x⁶ – 3); в) 3x²(x⁶ – 1);

4) 18a²b + a¹⁰ = …:

а) a²(18b + a⁵); б) a²(18b + a⁸); в) a²(18b + a¹⁰).

3. Розкласти многочлен на множники винесенням за дужки степеня з найменшим показником:

1) a + a²; 2) a – a²;

3) x³ + x²; 4) x¹⁰ – 3x²;

5) x⁵ + x²; 6) a² + ab;

7) x⁴ – x².

№166. 

1. У наведених виразах вказати спільний множник:

1) a(x + y) + b(x + y):

а) a(x + y); б) x + y; в) b(x + y);

2) a(x – y) + b(x – y);

3) x(a + 5) – y(a + 5).

2. Серед виразів а)–в) вказати розклад на множники виразу:

1) a(x + y) + b(x + y) = ...:

а) (x + y)(a + b); б) ab(x + y); в) (x + y)²(a + b);

2) x(a + 3) – y(a + 3) = …:

а) (a + 3)²(x – y); б) (a + 3)(x – y); в) –(a + 3)(x – y);

3) a(x + y) – (x + y) = …:

а) (x – y) · a; б) (x + y)(a – 1); в) (x + y)(a + 1);

4) (a + 2b) + c(a + 2b) = ...:

а) (a + 2b)(1 + c); б) (a + 2b)c; в) (a + 2b)²(a + c);

5) x(a – 3) – y(a – 3) = ...:

а) (a – 3)(x + y); б) (a – 3)(x – y); в) –(a – 3)xy;

6) x(a – 3) + y(3 – a) = ...:

а) (a – 3)(x + y); б) (3 – a)(x + y); в) (a – 3)(x – y);

7) x(a – 3) – y(3 – a) = ...:

а) (a – 3)(x – y); б) (a – 3)(x + y); в) (3 – a)(x – y).

3. Розкласти на множники вираз:

1) a(x + 4) + b(x + 4); 2) a(x – 7) + b(x – 7);

3) m(a – c) – k(a – c); 4) a(x – 5) + 10(x – 5);

5) a(x – 2) – 5(x – 2); 6) a(x – 9) + b(9 – x);

7) m(x – 4) – p(4 – x); 8) m(a – 2b) – (2b – a).

№167*. 

Серед виразів а)–в) вказати розклад на множники двочлена (1–8):

1) a^m+1 + a^m = …:

а) a^m · a; б) a^m+1 · a; в) a^m · (a + 1);

2) aⁿ⁺² + aⁿ = …:

а) aⁿ · a²; б) aⁿ · (a² + 1); в) a² · (aⁿ + 1);

3) a^m + a^m+4 = …:

а) a^m+4 · (1 + a⁴); б) a^m · a⁴; в) a^m · (1 + a⁴);

4) aⁿ – aⁿ⁺⁵ = …:

а) aⁿ · (1 – a⁵); б) aⁿ · (1 + a⁵); в) aⁿ · (1 – aⁿ⁺⁵);

5) a^m+n – a^m = …:

а) a^m · (aⁿ + 1); б) a^m · (aⁿ – 1); в) a^m · (a – 1);

6) aⁿ + a³ⁿ = …:

а) aⁿ · (1 + a²ⁿ); б) aⁿ · (1 + a²); в) aⁿ · (1 – a²ⁿ);

7) aⁿ – a⁵ⁿ = …:

а) aⁿ · (1 – a³ⁿ); б) aⁿ · (1 – a²ⁿ); в) aⁿ · (1 – a⁴ⁿ);

8) b^m + b^4m = …:

а) b^m · (1 + b⁴); б) b^m · (1 + b^3m); в) b^m · (1 + b^4m).

Розкласти на множники двочлен (9–16):

9) b^m+1 – b^m; 10) b^m+2 + b^m; 11) x^m + x^m+1; 12) x^m – x^m+10;

13) x^m+10 – x^m; 14) x⁵ⁿ – xⁿ; 15) x⁵ⁿ + x²ⁿ; 16) x^m+3 – x^m.