Подібні члени многочлена

Подібними членами многочлена називають його члени, які мають однакову буквену частину.

Приклади.

1. У тричлені x² + 5x + 2x подібними є члени 5x і 2x.

2. У многочлені x² + 4 – 5x – 7 подібними є члени 4 і –7.

3. У многочлені 5a²b + 14ab – 3ab – 7ab² – 6a²b + 5 подібними членами є 5a²b і –6a²b та 14ab і –3ab.

Зведенням подібних членів многочлена називають додавання подібних членів.

Многочлен стандартного вигляду

Означення. Многочленом стандартного вигляду називають многочлен, який не має подібних членів і у якого кожний член є одночленом стандартного вигляду.

Приклади.

1. x⁴ – 5x³ – x² – 7x – 3 — многочлен стандартного вигляду з однією змінною.

2. a² + b² – 2ab + a – 4b + 7 — многочлен стандартного вигляду з двома змінними a і b.

3. a³ + b³ + abc + a²b – 4c — многочлен стандартного вигляду з трьома змінними a, b і c.

4. Многочлен x² – 5x + 7x – 3 не є многочленом стандартного вигляду, оскільки містить подібні члени –5x і 7x.

5. Многочлен x³y – 2xy · 3x² + y²y не є многочленом стандартного вигляду, оскільки містить одночлени нестандартного вигляду 2xy · 3x² і y²y.

Будь-який многочлен можна звести до многочлена стандартного вигляду.

Щоб звести многочлен до стандартного вигляду, потрібно:

• подати його одночлени у стандартному вигляді;

• звести подібні члени.

Приклад.

5x² – 3x + 5xx = 5x² – 3x + 5x² = 10x² – 3x — спочатку подали третій член у стандартному вигляді, а потім звели подібні члени.

Степінь многочлена

Степенем многочлена називають степінь того його доданка (члена), у якого він є найбільшим.

Щоб знайти степінь многочлена, потрібно:

• встановити степені всіх його членів;

• серед цих степенів визначити найбільший і прийняти його за степінь многочлена.

Приклади.

1. У многочлені 7x³ – 4x² + 5 члени мають степені 3, 2, 0. Найбільший степінь у члена 7x³ — число 3. Отже, степінь многочлена дорівнює 3.

2. У многочлені 3a⁴ – a²b³ + 4ab² + b² найбільший степінь у члена –a²b³; він дорівнює 5. Отже, степінь многочлена дорівнює 5.

3. a; 5x + 3; 0,7a – 1; –19a — многочлени першого степеня.

4. a² – 4a + 5; a² + 2ab + b² – 3; x² – 3 — многочлени другого степеня.

Як правило, многочлени стандартного вигляду записують у порядку спадання степенів його членів, що дозволяє швидко встановити степінь многочлена.

Член многочлена, який має найбільший степінь, називають старшим, а член, який не містить змінних, називають вільним членом.

Приклади.

1. Члени многочленів 2x + 1; x⁴ – 5x³ – 4x + 7; a⁴ – a²b – b² – ab – b + 3 записані у порядку спадання степенів.

2. У многочлена 5x³ – 2x² + 7x – 3 старший член — 5x³, вільний член — –3.

2. Додавання і віднімання многочленів Розкривання дужок

Якщо многочлен узято в дужки, перед якими стоїть знак «+», то, розкриваючи дужки, потрібно:

• опустити дужки та записати всі члени, не змінюючи їхніх знаків.

Приклад.

+ (a² – 4ab – c) = a² – 4ab – c.

Якщо многочлен узято в дужки, перед якими стоїть знак «–», то, розкриваючи дужки, потрібно:

• опустити дужки та записати всі члени, змінивши їхні знаки на протилежні.

Приклади.

1. –(x² + 4x – 7) = –x² – 4x + 7.

2. –(–ab + b² + a² – 4) = ab – b² – a² + 4.

Додавання многочленів

Щоб додати два многочлени, потрібно:

• записати послідовно у вигляді алгебраїчної суми всі члени обох многочленів;

• звести подібні доданки (якщо вони є).

Приклад.

6x² + (3x² – 4) = 6x² + 3x² – 4 = 9x² – 4.

Віднімання многочленів

Щоб від многочлена А відняти многочлен В, потрібно:

• до всіх членів многочлена А дописати усі члени многочлена В, змінивши знак кожного його члена на протилежний;

• звести подібні доданки (якщо вони є).

Приклади.

1. 4x² – (x – 3) = 4x² – x + 3.

2. a³ – 4a² – (–3a² + 5) = a³ – 4a² + 3a² – 5 = a³ – a² – 5.

Початкове вивчення теорії

Навчальні завдання

1. Многочлен. Стандартний вигляд многочлена

№106. 

1. 1) Який з наведених виразів а)–в) є сумою одночленів?

а) а² (а – 3); б) аb + a² – b² – 4; в) .

2) Яка спільна назва у цілих виразів, які є одночленами або сумою одночленів?

3) Доповнити запис.

Многочленом називають ________________ або суму ____________.

2. Серед многочленів а)–е)

а) x – 2; б) 4x²; в) 4x² + x – 2;

г) a² + ab – b²; д) a² – b²; е) 2

вказати два, які є (1–3) ...

1) одночленами;

2) двочленами;

3) тричленами.

Серед многочленів а)–е)

а) x² – 2x + 5; б) ab – a² – b²; в) x²y + x² + 4y²;

г) a² + b² + c² – 2; д) xyz + x² – z²; е) 2a + 1.

вказати два многочлени (4–6) ...

4) з однією змінною;

5) із двома змінними;

6) із трьома змінними.

7) У многочлені x³ – 4x² + 5x – 4 вказати члени зі знаком «–».

8) Серед виразів а)–е) вказати три, які є многочленами:

а) x²(x + 2); б) x² + x + 2; в)  ;

г)  ; д) a² – ab + b²; е) 3x + 1

9) Серед цілих виразів а)–е) вказати три, які є многочленами:

а) 4xx²y; б) 4x(x² + y); в) (x – 2)²(x + 2);

г) x² – 3x + 5 + 3x; д) (x + 1)(x + 2); е) x² – 2x + 2.

3. Записати три многочлени, які є ...

1) одночленами; 2) двочленами; 3) тричленами.

Записати три многочлени (4–6) з ...

4) однією змінною;

5) двома змінними;

6) трьома змінними.

7) Записати три цілих раціональних вирази, які не є многочленами.

№107. 

1. 1) У многочлені x³ – 2x + x² – 4x + 5 вказати два члени з однаковими буквеними частинами.

2) Як називають члени одночлена з однаковими буквеними частинами?

Назвати подібні члени многочлена:

3) 4х – 3 – 7х; 4) а³ – 4a² – 7 + а²;

5) аb – a²b² + 4аb – а²b.

Назвати члени нестандартного вигляду у многочлені:

6) x³ – 2xx² + 4x – 2; 7) a²b² – 2ab·4a + 1.

8) Доповнити запис.

Многочленом стандартного вигляду називають многочлен, у якого всі члени ___________________ і не має __________________.

2. 1) Серед многочленів а)–е) вказати три многочлени стандартного вигляду:

а) x² + 3x²x – 4; б) x² + 3x³ – 4; в) a² – 6a – 4a – 5;

г) a² – 10a – 5; д) 4a³ – b²b – a²b; е) 4a³ – b³ – a²b.

Назвати многочлен стандартного вигляду, в який перетвориться многочлен:

2) x²x – 3x = …:

а) –x; б) x³ – 3x; в) 2x² – 3x;

3) a³a² + 4 = …:

а) a⁶ + 4; б) a⁵ + 4; в) 2a⁵ + 4;

4) –4x² + 5x² + 1 = …:

а) –2x² + 1; б) x² + 1; в) –x² + 1;

5) –4a² + 9a² + 7 = …:

а) –5a² + 7; б) 5x² – 7; в) 5a² + 7;

6) 2ab + 8 – 3ab = …:

а) –ab + 8; б) –5ab + 8; в) ab + 8.

3. Перетворити у многочлен стандартного вигляду:

1) 2 · 3a – 2 · 5; 2) x · 2x² + x · 5;

3) –2a – 4a + a²; 4) –3a² + 4a² – 8;

5) 12ab – 14ab + 3; 6) –5 + 2m³ – 3m³ – 10.

№108. 

1. 1) Що називають степенем многочлена?

а) Суму степенів усіх його членів; б) степінь члена, в якого він найбільший.

2) Доповнити запис.

Степенем многочлена називають степінь члена, у якого він _______.

Назвати член многочлена, в якого степінь найбільший (старший член):

3) 3x + 2; 4) 1 – 3x + x²; 5) 4a² – 3a + 1; 6) 1 + 4a¹⁰;

7) a² – a²b + b + 10; 8) x³y⁵ – x⁸ + x².

2. Серед многочленів а)–е) вказати три многочлени:

1) першого степеня:

а) 4x – 5; б) 4x² – 5; в) xy – 5;

г) 0,2a – 3; д) 0,2ab – 3; е)   + 7;

2) другого степеня:

а) 2x + 3; б) 4x² – 3x + 7; в) 4 – 3x + 5x³;

г) a³ – b³; д) 4ab – 5a + b; е) a² + b² – 3;

3) четвертого степеня:

а) a²b² – 5a³ + 4; б) 2ab² – 3 + a²; в) 5x⁴ – 3x³ – 2;

г) 4x – 1; д) a³b – a² + b²; е) a³b² – a⁴ + b.

3. Записати три многочлени:

1) першого степеня; 2) другого степеня;

3) третього степеня; 4) п’ятого степеня.

№109. 

Назвати розклад за розрядами:

1) числа 24:

а) 2 · 10 + 4 · 1; б) 2 · 100 + 4 · 10; в) 4 · 10 + 2 · 1;

2) числа 783:

а) 3 + 8 · 10 + 7 · 100; б) 3 · 100 + 8 · 10 + 7; в) 7 · 10 + 8 · 1 + 3 · 0;

3) числа 402:

а) 4 · 100 + 2 · 10; б) 4 · 100 + 2 · 1; в) 4 · 10 + 2 · 1.

Назвати запис, у якому подано у вигляді многочлена число, яке має...

4) a десятків і b одиниць:

а) 100a + 10b; б) 10a + b;

5) a сотень, b десятків і с одиниць:

а) 100a + 10b + с; б) 10a + b + 0с ;

6) x сотень і y одиниць:

а) 100x + y; б) 10x + y.

Подати у вигляді многочлена число, в якому (7–10):

7) b десятків і c одиниць;

8) m сотень, n десятків і k одиниць;

9) a десятків і 4 одиниці;

10) a сотень і b десятків.