Високий рівень
1. 1) Розв’язати
рівняння
.
2) З пунктів А і В, відстань між якими 400 км, вирушили одночасно назустріч один одному два потяги, причому швидкість одного з них на 15 км/год більша від швидкості іншого. Через 3 год потяги, ще не зустрівшись, перебували на відстані 25 км один від одного. Яка швидкість кожного потяга?
Розв’язати рівняння (2–3):
2. 4ах – х = а, де х — змінна, а — параметр.
3. 
.
№62. Варіант 4
Середній рівень
1. 1) Розв’язати рівняння –6х = 2.
2) Сума двох чисел дорівнює 70. Знайти ці числа, якщо одне з них у 9 разів більше від іншого.
2. Розв’язати рівняння 4х – 7 = х + 14.
3. Задану кількість деталей (завдання) робітник може виготовити за 2 год, а його учень — за 6 год. Скільки деталей становить завдання, якщо за годину робітник виготовляє на 8 деталей більше, ніж учень?
Достатній рівень
1. 1) Розв’язати
рівняння
= 0.
2) На залізничній станції стояли два потяги, причому в одному з них було удвічі більше вагонів, ніж в іншому. Коли від одного потяга відчепили 14 вагонів і причепили їх до іншого, то вагонів у потягах стало порівну. Скільки вагонів було в кожному потязі спочатку?
2. Розв’язати
рівняння (4х + 1)(0,2х + 8)
= 0.
3. Відстань від пристані А до пристані В за течією моторний човен пройшов за 3 год, а зворотний шлях проти течії він пройшов за 4 год. Знайти швидкість човна у стоячій воді та відстань між пристанями, якщо швидкість течії річки дорівнює 1 км/год.
Високий рівень
1. 1) Розв’язати
рівняння
.
2) Відстань між містами А та В дорівнює 210 км. З міста А до міста В виїхав велосипедист зі швидкістю 15 км/год, а через 40 хв назустріч йому з міста В виїхав мотоцикліст, швидкість якого 45 км/год. Через скільки годин після виїзду велосипедиста вони зустрінуться?
Розв’язати рівняння (2–3):
2. 3ах + х = а, де х — змінна, а — параметр.
3. 
.
ІІ. ЦІЛІ ВИРАЗИ
Тема 3. Степінь з натуральним показником
Поняття про степінь з натуральним показником
Множення і ділення степенів з однаковими основами
Степінь добутку та степеня
Виклад теорії
1. Поняття про степінь з натуральним показником
|
Степенем числа a з натуральним показником n, більшим від 1, називають добуток n множників, кожний з яких дорівнює a. Степенем числа a з показником 1 називають саме число a. |
an — степінь з основою a і показником n. Запис «an» читають «a в степені n» або «n-й степінь числа a».
a1 = a.
Другий степінь числа a називають квадратом числа a; третій степінь числа a називають кубом числа a.
Приклади.
1. с7 — степінь з основою c і показником 7; читають: «с у сьомому степені» або «сьомий степінь числа c».
2. x2 — степінь з основою x і показником 2; читають: «x у квадраті» або «квадрат числа (виразу, змінної) x».
3. m3 — степінь з основою m і показником 3; читають: «m у кубі» або «куб числа (виразу, змінної) m».
4. За означенням, a5 = a · a · a · a · a; 23 = 2 · 2 · 2 = 8; (a + b)4 = (a + b)(a + b) (a + b)(a + b); (ac)2 = (ac)(ac).
|
Натуральний степінь числа 0 дорівнює 0. |
0n = 0.
Приклади.
01 = 0; 02 = 0; 0100 = 0; 01002 = 0.
Натуральним степенем додатного числа є додатне число.
Якщо
n — натуральне число, a —
додатне, то an — додатне.
Дійсно, an = 
> 0
як добуток додатних чисел.
Приклади.
1. 53;
;
0,76; 0,0011001 — додатні числа.
2. Якщо b > 0, то b2 > 0, b5 > 0, b13 > 0, b1002 > 0.
Степінь від’ємного числа з парним показником є додатним числом (як добуток парної кількості від’ємних множників).
Якщо n = 2; 4; 6; 8; …; 2k; …, a — від’ємне, то an — додатне число.
Приклади.
1. (–5)2;
;
(–0,002)8;
— додатні числа.
2. Якщо x < 0, то x2 > 0, x4 > 0, x10 > 0, x104 > 0.
Степінь від’ємного числа з непарним показником є від’ємним числом (як добуток непарної кількості від’ємних множників).
Якщо n = 1; 3; 5; 7; …; 2k + 1; …, a — від’ємне, то an — від’ємне число.
Приклади.
1. (–5)3;
;
(–0,56)7; (–0,001)1001 — від’ємні
числа.
2. Якщо x < 0, то x3 < 0, x5 < 0, x11 < 0, x1003 < 0.
|
Дію знаходження степеня називають піднесенням до степеня. |
|
Піднесення до степеня називають дією третього ступеня. Множення і ділення — дії другого ступеня; додавання і віднімання — дії першого ступеня. |
Приклади.
1. Піднести до квадрата:
32 = 3 · 3 = 9;
(–5)2 = (–5) · (–5) = 25;
0,52 = 0,5 · 0,5 = 0,25;
=
·
=
;
= 
= 
·
= 
= 
.
2. Піднести до куба:
53 = 5 · 5 · 5 = 125;
(–5)3 = (–5) · (–5) · (–5) = –125;
0,13 = 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,001;
=
·
·
= 
;
= 
= 
·
·
= 
= 
.
3. Піднести до степеня:
24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16;
(–10)4 = (–10) · (–10) · (–10) · (–10) = 10000;
(–0,1)4 = (–0,1) · (–0,1) · (–0,1) · (–0,1) = 0,0001;
= 
·
·
·
·
= 
.
Якщо вираз містить дії різних ступенів, то виконують:
спочатку дії третього ступеня;
потім дії другого ступеня;
останніми дії першого ступеня.
Якщо вираз містить дужки, то спочатку виконують дії у дужках.
Приклади.
1. 2 + 7 · 23 = 2 + 7 · 8 = 2 + 56 = 58.
2. 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
3. (3 + 4)2 = 72 = 49.
4. 50 – (2 + 5)2 = 50 – 72 = 50 – 49 = 1.
|
У процесі словесного читання виразів, які містять степені, дотримують загального правила: |
першою називають дію, яку виконують останньою.
Приклади.
1. a2 + b2 — сума квадратів чисел (виразів) a та b.
2. a3 – b3 — різниця кубів чисел (виразів) a та b.
3. (a + m)2 — квадрат суми чисел (виразів) a та m.
4. (x – 5)3 — куб різниці чисел (виразів) x та 5.
Дії зі степенями
2. Множення і ділення степенів з однаковими основами
|
Теорема. Добуток степенів будь-якого числа a з показниками m і n дорівнює степеню числа a з показником m + n: |
am · an = am+n.
Щоб помножити степені з однаковими основами, потрібно:
основу залишити без зміни;
показники степенів додати.
Приклади.
1. a5 · a8 = a13; b4 · b10 = b14.
2. 74 · 78 = 712;
= 
;
0,150 · 0,120 = 0,170;
.
Доведення теореми
Ілюстрація доведення
|
Теорема. Частка степенів будь-якого числа a 0 з показниками m і n такими, що m > n, дорівнює степеню числа a з показником m – n: |
am : an = am–n.
Щоб поділити степені з однаковими основами, потрібно:
основу залишити без зміни;
від показника діленого відняти показник дільника.
Приклади.
1. a8 : a5 = a3; b10 : b2 = b8.