32. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости

d =	|A·Mx + B·My + C·Mz + D|
	√A2 + B2 + C2

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y, M_z) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:

33. Векторное произведение векторов и его свойства.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах aи b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =	i	j	k	= i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx)
	ax	ay	az
	bx	by	bz

a × b = {a_yb_z - a_zb_y; a_zb_x - a_xb_z; a_xb_y - a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

• Геометрический смысл векторного произведения.

 Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

S_парал = [a × b]

• Геометрический смысл векторного произведения.

 Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ =	1	|a × b|
	2

• Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.

• Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.

• a × b = -b × a

• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

• (a + b) × c = a × c + b × c

34. Запись векторного произведения векторов с помощью определителя.

35. Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Формулы вычисления смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение векторов a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и c = {c_x; c_y; c_z} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [b × c] =	ax	ay	az
	bx	by	bz
	cx	cy	cz

Свойства смешанного произведения векторов

• Геометрический смысл смешанного произведения.

 Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

V_парал = |a · [b × c]|

• Геометрический смысл смешанного произведения.

 Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:

Vпир =	1	|a · [b × c]|
	6

• Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.

• a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)

• a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

• a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.