- •Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в пространстве
- •Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве.
- •Деление отрезка в заданном отношении. Понятие деления отрезка в данном отношении
- •Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости
- •Формулы координат середины отрезка
- •Полярная система координат. Сферическая система координат.
- •Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.
- •Преобразование координат для прямоугольной системы координат методом сдвига и поворота.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса и его свойства.
- •Окружность. Общее и каноническое уравнения окружности.
- •Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты геометрического вектора и его запись с помощью знака суммы. Знак суммирования и его свойства.
- •Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве.
- •Действия с геометрическими векторами в координатной форме.
- •Признак коллинеарности векторов.
- •Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства.
- •Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора. Угол между векторами.
- •Общее уравнение прямой на плоскости в представлении геометрических векторов.
- •Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.
- •Общее уравнение плоскости в пространстве.
- •Решение неравенств на плоскости.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Векторное произведение векторов и его свойства.
- •Формулы вычисления векторного произведения векторов
- •Свойства векторного произведения векторов
- •Запись векторного произведения векторов с помощью определителя.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Решение систем линейных уравнений с помощью векторного произведения.
- •Матрицы и их классификация. Действия с матрицами. Экономические примеры.
- •Определитель 1-го, 2-го и третьего порядков. Правило Саррюса и «звёздочки».
- •Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Определитель произвольного порядка.
- •Свойства определителя. Терема об определителе произведения квадратных матриц.
- •Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы.
- •Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •Транспонирование и его свойства.
- •Система линейных уравнений и её решение.
- •Метод Гаусса для решений совместной системы линейных уравнений.
- •О днородная, неоднородная, совместная, несовместная, определенная и неопределенная система. Матричная запись системы линейных уравнений.
- •Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.
- •Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений.??????????
- •Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •Теорема условия существования обратной матрицы Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Формулы Крамера.
- •Линейное (векторное) пространство. Линейное подпространство.
- •Пространство Rn и линейные операции в этом пространстве.
- •Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.
- •Базис линейного пространства. Примеры.
- •Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная оболочка векторов.
- •Векторное представление системы линейных уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Критерий линейной зависимости векторов в пространстве Rn.
- •Евклидовое пространство.
- •Нормируемое пространство.
- •Ортогональное дополнение и его свойства.
- •Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристическое уравнение.
- •Линейная функция. Билинейная форма. Квадратичная форма.
- •Изотропный вектор и знакоопределённость квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий знакоопределённости квадратичной формы.
- •Линейная балансовая модель.
- •Модель международной торговли.
- •Линейные операторы как отображения. Образ и ядро линейного оператора.
- •Матрица линейного оператора
- •Взаимно однозначные отображения.
- •Произведение операторов. Обратный оператор.
- •Теорема о представлении оператора в виде матрицы.
- •Произведение линейных отображений.
Общее уравнение прямой на плоскости в представлении геометрических векторов.
Покажем, что Ах+ Ву+С=о есть уравнение прямой линии. Возможны два случая:
Если В=0,то ур-ние имеет вид Ах+С=0, причем А не равно 0,т.е х=-с/а. Это есть ур-ние прямой, ||оси Оу и проходящей через точку (-с/а; 0)
Если В не равно 0,то из ур-ния получаем у=-А/в*х-с/в. Это есть ур-ние прямой с угловым коэф. K=tg(альфа)=-а/в. Итак, ур-ние есть ур-ние прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.
Некоторые частные случаи общего ур-ния прямой :
1)если А=0,то ур-ние приводится к виду у=-с/в.Это есть ур-ние прямой,параллельной оси Ох.
2)Если В=0,то прямая || оси Оу
.
3)Если С=0,то получаем Ах+Ву=0. Уравнению удовлетворяют координаты точки О(0;0), прямая проходит через начало координат.
Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.
Параметрическое уравнение прямой: х=x0+mt, y=y0+nt, z=z0+pt все в системе. Векторное уравнение прямой,записанное в другом виде. Учитывая,что r=(x,y,z), r0=(x0,y0,z0), tS=(tm,tn,tp).
Каноническое уравнение прямой: x-x0\ m = y-y0\ n = z-z0\p. Уравнение можно было бы получить сразу из параметрического,исключив параметр t.
Общее уравнение плоскости в пространстве.
Ax+By+Cz+D=0-общее уравнение плоскости. Уравнение определяет в системе координат некоторую плоскость
Частные случаи.
Если D=0,то плоскость проходит через начало координат. Ax+By+Cz=0, этому ур-ию удовлетворяет точка О(о,о,о)
Если С=0,то плоскость параллельна оси Oz. Ax+By+D=0
Если В=0,то параллельна оси Оу
Если А=0,то параллельна оси Ох
Если С=D=0,то плоскость проходит через О(0,0,0) параллельно Оz,т.е плоскость проходит через Oz. Аналогично,A=D проходит через Ох и В=D проходит через Оу.
Если А=В=0,то плоскость параллельна Оху. Аналогично, B=C параллельна Oyz и A=C параллельна Oxz.
Если A=B=D=0, то это уравнение плоскости Оху. Аналогично, у=0-уравнение Охz, х=0-уравнение Оуz
Решение неравенств на плоскости.
Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным,необходимо перенести все его члены в одну часть, т.e. привести к виду: f ( x ) > 0 ,
и построить график функции y = f ( x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции (см. выше), которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x, внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b ( рис.30 ). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f ( x ) > 0: x < a и x > b ( они выделены жирными стрелками ). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой: < , , .
Ч тобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду:
и построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) , ... , y = h ( x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т.e. их общую часть.