25. Признак коллинеарности векторов.

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

. Пусть даны векторы  . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

,

то есть, координаты векторов пропорциональны.

26. Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства.

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a иb.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; ... ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; ... ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + ... + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

a · a ≥ 0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0   <=>   a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a · a = |a|²

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

27. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора. Угол между векторами.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Дов-во: а=ах на i+ ay на j+ az на k b=bx на i+by на j+ bz на k

Найдем скалярное произведение перемножая как многочлены. По таблице скалярного произведения векторов: i на i=1, i на j=0, I на k=0 и тд. В итоге у нас останется: аb=axbx+ayby+azbz

Длина вектора: это длина отрезка и обозначается как |AB|. Вектор длина которого равна 1 – единичный вектор. Обознач как е. Если рассматривать АВ,где A(x1) и B(x2) точки на корд прямой,то расстояние АВ=|х2-х1|

Расстояние между двумя точками: на плоскости: АВ= (y1-y2)²+(x1-x2)² все под корнем. Пусть в системе корд заданы две точки А(х1,у1) и В(х2,у2). Из этих точек опусти перпендикуляры на ось Ох,из точки В на Оу. |АВ|=АМ²+ВМ² все под корнем. В пространстве: тоже самое плюс z.

Косинус угла между векторами: cos α=AB на AC\ |AB| на |AC| или ab\ |a| |b|.