Линейные операторы как отображения. Образ и ядро линейного оператора.
Лине́йным отображе́нием векторного
пространства 
над полем 
в
векторное пространство 
над
тем же полем
(лине́йным
опера́тором из
в
)
называется отображение
,
удовлетворяющее условию линейности
,
.
для всех 
и 
.
Пусть 
и 
—
линейные пространства над полем 
.
Отображение 
называется
линейным оператором, если 
, 
:
Матрица линейного оператора
Пусть
Пусть п.п. 
Пусть п.п. 
,
где 
Линейный
оператор 
называется
автоморфизмом (или гомоморфизмом).
Образ и ядро линейного оператора
Рассмотрим
линейный оператор 
,
действующий в конечномерном линейном
пространстве 
.
Доказано, что образ 
линейного
оператора 
линейное
пространство. Размерность образа
линейного оператора называется рангом
оператора, обозначается 
.
Ядром
линейного оператора называется
множество элементов из
,
образом которых является нулевой
элемент. Ядро оператора обозначают 
: 
.
Ядро линейного оператора
линейное
пространство; размерность ядра линейного
оператора называется дефектомоператора,
обозначается 
: 
.
Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве , справедливы следующие утверждения:
сумма
ранга и дефекта оператора равно
размерности пространства, в котором
действует оператор: 
;
ранг оператора равен рангу его матрицы;
ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.
Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.
Взаимно однозначные отображения.
Пусть ^A: Xn → Xn — некоторый оператор (не обязательно линейный), D М Xn — область определения и E М Xn — область значений этого оператора.
Оператор ^A:Xn → Xn называется взаимно однозначным, если из равенства образов следует равенство прообразов:
"x1, x2 О D ^Ax1 = ^Ax2 ЬЮ x1 = x2. |
Пусть теперь ^A:Xn → Xn — линейный оператор. Справедлива следующая
Теорема 1. Для того, чтобы линейный оператор ^A:Xn → Xn осуществлял взаимно однозначное отображение, необходимо и достаточно, чтобы Ker ^A = θ .
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия".
Следствие. Для того, чтобы линейный оператор ^A:Xn → Xn осуществлял взаимно однозначное отображение, необходимо и достаточно, чтобы Rg ^A = n , где n — размерность пространства.
Рассмотрим оператор ^A: Xn → Xn (не обязательно линейный), осуществляющий взаимно однозначное отображение.
Оператор ^B: Xn → Xn называется обратным оператору ^A:D М Xn → Xn , если "x О D : ^B(^Ax) = x , т.е.
^B°^A = ^E, |
где ^E — тождественный оператор. Обозначая обратный оператор ^A − 1 , получаем определение обратного оператора в виде
^A − 1°^A = ^E. |
Теорема 2. Для того, чтобы оператор ^A: D М Xn → E М Xn имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он осуществлял взаимно однозначное отображение.
Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия".