70. Произведение операторов. Обратный оператор.

Произведением линейных операторов А и В из   называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В) А(В  для любого   из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1.  АВ) = ( А )В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ,  Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.

Легко увидеть, что для всякого линейного оператора А  А . При этом если А  только при  , то оператор называется невырожденным; если же найдется такой вектор  , что А , то оператор А– вырожденный.

Линейный оператор В  из   называется обратным для оператора А из  , если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А^–1. Для того чтобы линейный оператор А из   имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.

Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам   и   отвечают различные элементы  А  и  А . Для того чтобы линейный оператор А  из   имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.

71. Теорема о представлении оператора в виде матрицы.

72. Произведение линейных отображений.