- •Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в пространстве
- •Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве.
- •Деление отрезка в заданном отношении. Понятие деления отрезка в данном отношении
- •Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости
- •Формулы координат середины отрезка
- •Полярная система координат. Сферическая система координат.
- •Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.
- •Преобразование координат для прямоугольной системы координат методом сдвига и поворота.
- •Эллипс. Каноническое уравнение эллипса и его свойства.
- •Окружность. Общее и каноническое уравнения окружности.
- •Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты геометрического вектора и его запись с помощью знака суммы. Знак суммирования и его свойства.
- •Разложение произвольного вектора по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве.
- •Действия с геометрическими векторами в координатной форме.
- •Признак коллинеарности векторов.
- •Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства.
- •Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Длина вектора. Угол между векторами.
- •Общее уравнение прямой на плоскости в представлении геометрических векторов.
- •Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве.
- •Общее уравнение плоскости в пространстве.
- •Решение неравенств на плоскости.
- •Расстояние от точки до плоскости.
- •Векторное произведение векторов и его свойства.
- •Формулы вычисления векторного произведения векторов
- •Свойства векторного произведения векторов
- •Запись векторного произведения векторов с помощью определителя.
- •Смешанное произведение векторов.
- •Решение систем линейных уравнений с помощью векторного произведения.
- •Матрицы и их классификация. Действия с матрицами. Экономические примеры.
- •Определитель 1-го, 2-го и третьего порядков. Правило Саррюса и «звёздочки».
- •Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Определитель произвольного порядка.
- •Свойства определителя. Терема об определителе произведения квадратных матриц.
- •Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы.
- •Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •Транспонирование и его свойства.
- •Система линейных уравнений и её решение.
- •Метод Гаусса для решений совместной системы линейных уравнений.
- •О днородная, неоднородная, совместная, несовместная, определенная и неопределенная система. Матричная запись системы линейных уравнений.
- •Теорема о решении однородной системы линейных уравнений.
- •Теорема о числе решений совместной системы линейных уравнений.??????????
- •Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •Теорема условия существования обратной матрицы Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Формулы Крамера.
- •Линейное (векторное) пространство. Линейное подпространство.
- •Пространство Rn и линейные операции в этом пространстве.
- •Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.
- •Базис линейного пространства. Примеры.
- •Теорема о разложении вектора по базису.
- •Линейная оболочка векторов.
- •Векторное представление системы линейных уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Критерий линейной зависимости векторов в пространстве Rn.
- •Евклидовое пространство.
- •Нормируемое пространство.
- •Ортогональное дополнение и его свойства.
- •Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристическое уравнение.
- •Линейная функция. Билинейная форма. Квадратичная форма.
- •Изотропный вектор и знакоопределённость квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий знакоопределённости квадратичной формы.
- •Линейная балансовая модель.
- •Модель международной торговли.
- •Линейные операторы как отображения. Образ и ядро линейного оператора.
- •Матрица линейного оператора
- •Взаимно однозначные отображения.
- •Произведение операторов. Обратный оператор.
- •Теорема о представлении оператора в виде матрицы.
- •Произведение линейных отображений.
Линейная функция. Билинейная форма. Квадратичная форма.
Ф-ция- это соответствие, при к-ром кажд. эл-ту v пространства V сопостав. только 1 число f(v ).
Ф-ция на лин. пр-ве L наз. лин., если для любых в-ров этого пр-ва х, у € L и люб. действ.числа λ€R выпол-ются равен-ва:
f ( x + у) = f(x) + f(y ),2. f(λx) = λ f (x ).
Примеры.
1. f : R -> R, f(x) = kх прямая линия на плоскости XOY
проходящая через начало коорд.
2., Скаляр. произв.
Пусть φ(х,у) числ. Ф-ция, зад. на лин. пр-тве.Если φ(х , у) линейна по кажд. из своих аргументов, то её наз. билинейной формой. Т.о. бил. форма - это ф-ция φ(х, у) зад. на лин. пр-ве L, что при всех x ,y ,z €L и λ€R выполняются рав-ва:
1. φ(х+z,у)=φ(x,у)+φ(z,у),φ(х, у+z )=φ(х,у)+φ(х, z)
2. φ(λх, у) =λφ(х,у);φ(х,λу) =λφ(х,у).
Отдельно вводят нул.бил.форму 0(х, у), для к-рой 0(х, у)=0 при всех х,у принад.L.
Бил.форма наз.симметричной, если φ(х, у) =φ(у,х)(напр.скал.произв).
Если в бил. форме φ(х,у) у = х, то получим квадратичную форму φ(х,х).
Квадрат. форма φ(х,х).наз. положительно определённой, если для любого х€ L ,х≠ 0 будет φ(х,х)> 0. В том случае, когда φ(х,х)≥0 квадратичная форма наз. неотриц... Положительно определённые и отриц. опред-ные квадратич. формы наз.знакопостоянными.
Изотропный вектор и знакоопределённость квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий знакоопределённости квадратичной формы.
Ненул. вектор, для к-рого квадратич.форма φ(х ,х)= 0, наз.изотропным.
Т. Если квадратич.форма не имеет изотропных в-ров,то она знакопостоянна.
Док-во. Предположим, что это не так и найдутся два ненул.
в-ра и и υ;, на к-рых квадрат. форма имеет разн.знаки. Т.к. для 2х коллинеарных в-ров х,у существует λ≠0,λ€R, что х=λ у, на к-рых квадратич. форма имеет 1и тот же знак
φ(х,х)= φ(λу, λу)=λ2φ(у,у)то в-ры и и v неколлинеарны.
Для люб. вещ. числа λ выполняется рав-во
φ(u+λυ,u+λυ)=φ(u,u)+λ(φ(υ,u)+φ(u,υ))+λ2φ(υ,υ).
Правая часть - многочлен второй степени относительно переменной λ. Т.к. φ(u,u) и φ(υ,υ) по предположению имеют разные знаки, то многочлен имеет 2 корня разн. знака. Пусть λ0 - 1 из них, тогда φ(u+ λ0υ,u+ λ0υ )=0 и и + λ0υ - изотропный
в-р. Но в-р и + λ0υ не нулевой в силу лин. незав-сти в-ров и и v, поэтому обращение в 0 на нём квадратич. Формы невозможно по усл. Противоречие. чтд.
следствие: Знакопостоянство квадратич. формы явл. необходимыми достаточным усл-ем отсутствия изотропных векторов.
Матр.А=(aij)=(φ(ei,ej)) наз. матр.квадратич.формы.(матрицей квардатич.формы наз.матрица,составленная из ее коэф.)квадратич.форме соответствует единств.симметрическая матр.
Всякую квадратичн.форму можно представить как умножение
матриц.
Если матрица квадратич. формы диагональна и на диагонали
стоят либо +1, либо --1, либо 0, то такой вид квадратичной формы
называется нормальным.
Для люб. матрицы А квадратич.формы сущ-ет матрица S, что
А = S'DS , detS = 1,где D - диагональная матрица.
Т.(Закон инерции квадратичной формы.) Число положительных и отриц. членов в нормальном виде квадратич. формы не зависит от способа её приведения.
Следствие. Квадратич. форма положительно (отрицательно) определена, когда её положительный (отрицательный)индекс инерции равен размерности пр-ва.
Т.(Критерий Сильвестра.) Для того, чтобы квадратич.форма была положительно определена, необходимо и достаточно,чтобы все главные миноры её матрицы были положительны.
Т.Д ля того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров матрицы квадратичной формы чередовались.