37. Теорема Ферма

Пусть ф-ция y=f(x) определена на интервале (а;в), и в некоторой точке хо этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда если в точке хо существует производная, то она =0.

Доказательство: Пусть для определенности ф-ция y=f(x) в точке хо имеет наибольшее значение, т.е. f(x)≤ f(xо) для любого хϵ(а;в)

f(x)-f(xо)≤0 f(xо+∆х)-f(xо)≤0 ∆у≤0

Возможны 2 случая: 1) Пусть ∆х>0, тогда точка х правее точки хо

lim ∆у/∆x≤0 при ∆х→0+0

2) ∆х<0, тогда точка х левее точки хо

lim ∆у/∆x≥0 при ∆х→0-0

Т.к. функция y=f(x) по условию дифференцируема в точке хо, то она непрерывная в ней, значит предел слева=пределу справа и lim ∆у/∆x при ∆х→0+0 = lim ∆у/∆x при ∆х→0-0 =

lim ∆у/∆x при ∆х→0 = 0 следовательно f'(xo)=0

Замечание: данная теорема не верна если рассматривать ф-цию на отрезке [a;b], т.к. нарушается условие наибольшего и наименьшего значения.

38. Теорема Ролля

Пусть на отрезке [a;b] определена ф-ция y=f(x), причем выполняются условия: 1) она непрерывна на отрезке [a;b]; 2) она дифференцируема на интервале (a;b); 3) f(a)=f(b); тогда существует точка С принадлежащая интервалу (a;b) и f'(c)=0.

Доказательство:

Так как функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m, т.е. существуют точки х1 и х2 принадлежащие [a;b] и f(x1)=M, f(x2)=m и m≤f(x)≤M. Возможны 2 случая:

1) M=m

в этом случае функция является постоянной и f'(x)=0 в любой точке этого интервала.

2) m<M

т.к. согласно условию f(a)=f(b), то хотя бы одно из значений m или M не принимается на концах отрезка, т.е. сущ. точка С принадлежащая интервалу (a;b) в кот-ой ф-ция принимает наибольшее или наименьшее значение, т.к. ф-ция дифференцируема в этой точке, то по теореме Ферма следует, что f'(c)=0.

39. Теорема Лагранжа

Пусть на отрезке [a;b] определена ф-ция y=f(x), причем выполняются условия: 1) она непрерывна на отрезке [a;b]; 2) она дифференцируема на интервале (a;b); тогда существует точка С принадлежащая интервалу (a;b) и f'(c)=f(b)-f(a)/(b-a)

Доказательство:

Рассмотрим на отрезке [a;b] вспомогательную функцию F(x)= f(x)-f(a)-f(b)-f(a)/(b-a), для кот-ой выполняются все условия теоремы Ролля: 1) Она непрерывна на отрезке как разность двух функций; 2) Дифференцируема, т.к. существует производная f'(x); 3) f(a)=f(b). Значит существует точка С принадлежащая интервалу (a;b) такая что F'(c)=0 следовательно

f'(c)=F'(c)- f(b)-f(a)/(b-a) f'(c)=f(b)-f(a)/(b-a) - формула конечных приращений

Замечание: геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что на графике функции y=f(x) найдется точка с координатами (с;f(c)), в которой касательная к графику функции будет параллельна секущей ab.

40. Правило Лопиталя

Следующая теорема устанавливает правила для раскрытия неопределенности [∞/∞] при вычислении пределов.

Теорема: Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки хо, за исключением, быть может, самой точки хо, известно так же что пределы этих функций равны 0. Тогда, если существует предел отношения производных этих функций, конечный или бесконечный, то существует и предел отношения самих функций и справедливо:

lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x) при x→xo

Доказательство: Предположим, что f(x) и g(x) непрерывны в точке хо. Применим теорему Коши для отрезка [x;xo].

f(x)-f(xo)/g(x)-g(xo)=f'(c)/g'(c) cϵ(x;xo)

по условию непрерывности f(xo)=g(xo)=0

f(x)/g(x)=f'(c)/g'(c) перейдем к пределу при х→хо учитывая, что с→хо

lim f(x)/g(x)=lim f'(c)/g'(c)

по условию существования предела отношения производных обозначим lim f'(х)/g'(х) числом L, тогда lim f'(c)/g'(c)= L, следовательно lim f(x)/g(x)=lim f'(c)/g'(c)=L тогда справедливо limf(x)/g(x)=lim f'(х)/g'(х)