12. Определение бесконечно большое функции. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1) Функция f(x) - бесконечно большая функция, если ее предел в точке хо при х→хо =∞

если для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для всех х на равных хо, таких что │х-хо│<δ выполняется │f(x)│>ε

2) Функция f(x) - бесконечно большая функция, если ее предел при х→∞ =∞

если для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для всех х, таких что │х│>δ выполняется │f(x)│>ε

СВЯЗЬ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ Связь: 1. Если a(x) бмф, то 1/a(x) ббф 2 Если b(x) ббф, то 1/b(x) бмф Док-во: Пусть а(х) – бмф при х->x0, те lim a(x)(при х->x0)=0. Тогда д/люб. Е>0 сущ-ет б>0 д\люб. х : 0<|x-x0|<б выолн. |a(x)|<E, т е |1/а(х)|>1/E, те |1/a(x)|>M, где М=1/Е. А это означает, что ф-ция 1/а(х) – ббф. Аналогично доказывается обратное.

13. Свойства пределов функций

1. Предел суммы(разности) двух функций равен сумме(разности) их пределов.

2. Функция может иметь только один предел при х→хо

3. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.

6. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не =0.

14. Т. о предельном переходе в неравенстве Lim Xn=A при n→∞ и Lim Xn=В и для любого n cущ-ет N Выполняется Xn≤Yn, то A≤B (Lim Xn при n→∞ ≤ Lim Yn при n→∞) Док-во: пусть выполнены все усл Т.,но A>B.По опр предела →для любого E>0 сущ-ет N:для любого n>N │Xn-A│<E. для любого E>0 сущ-ет N: для любого n>N │Yn-B│<E применим эти неравенства в другом виде:A-E<Xn<A+E B-E<Yn<B+E Рассмотрим выделенные части неравенства,выбрав в качестве Е число (A-B)/2. 1)Xn>A-E=A-((A-B)/2)=(2A-A+B)/2=(A+B)/2 Xn>A+B 2)Yn<B+E=B+(A-B)/2=(2B+A-B)/2=(A+B)/2 Yn<A+B/2→ Xn>Yn.Получим противоречие с условием Т→A≤B

15. Т. О сжатой переменной.

Пусть Lim Xn=A при n→∞ и Lim Yn=A при n→∞ ,начиная с некоторого n принадлежит N выполняется Xn≤Zn≤Yn →Lim Zn=A при n→∞. Док-во:возьмем E>0. для {Xn} найдется такой N1:для любого n>N1 выполн │Xn-A│<E. A-E<Xn<A+E Для {Yn} найдется такой N2:для любого n>N2 выполн │Xn-A│<E → A-E<Yn<A+E Тогда,если N=max {N1;N2}.для любого n>N будут выполняться оба этих двойных неравенств Используя подчеркн части,а также нер-во,данное в условии,получаем A-E≤ Xn≤Zn≤Yn≤A+E A-E<Zn<A+E -E<Zn<E │Zn-A│<E → Lim Zn при n→∞=A

16. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности элементарных функций.

Пусть функция f(х) определена в точке хо и некоторой окрестности точки хо.

Ф-ция f(х) назыв. НЕПРЕРЫВНОЙ В ТОЧКЕ хо если сущ. предел ф-ции в этой точке и он равен значению ф-ции в этой точке. т.е для непрерывной функции можно переставить знак ф-ции и знак предела.

Ф-ция f(х) назыв. НЕПРЕРЫВНОЙ В ТОЧКЕ хо если бесконечно малому приращению ф-ции соотв. бесконечно малое приращение аргумента.

Ф-ция f(х) назыв. НЕПРЕРЫВНОЙ В ИНТЕРВАЛЕ (а;в) если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Ф-ция f(х) назыв. НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ [a;в] если: 1) она непрерывна в каждой точке интервала (а;в); 2) в точке х=а непрерывна справа; 3) в т. х=в непрерывна слева.

СВОЙСТВА: 1) если 2 ф-ции опр-ны- в некот. окр-ти точки хо и непрерывны в ней, то их сумма и произведение так же непрерывны в точке хо, а частное при условии что ф-ция не =0.

2)Суперпозиция 2х ф-ций непрерывных в хо и уо также непрерывна в хо

3) Элементарные ф-ции непрерывны во всех точках своей области определения, в окрестностях которых они определены.

17. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке справа и слева. Классификация разрывов.

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

Число А1 называется правосторонним приделом функции f(х) при х→хо+0

если для любого ε>0, найдется δ>0, что для всех хϵ(хо;хо+δ) выполняется │ f(х)-А1│<ε

Аналогично находится предел слева. Если сущ. предел f(х) в чтоке хо и он=А, то и сущ оба односторонних предела, причем А=А1=А2

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ СПРАВА И СЛЕВА

Ф-ция f(х) назыв. НЕПРЕРЫВНОЙ В ТОЧКЕ хо если сущ. предел ф-ции в этой точке и он равен значению ф-ции в этой точке. т.е выполняются 3 условия: 1) f(х) определена в хо и ее окрестности; 2) Сущ. предел ф-ции, равный односторонним пределам 3) предел = значению ф-ции в этой точке.

ТОЧКИ РАЗРЫВА

Точка разрыва 1 рода:

1) lim f(x) x→xo+o=lim f(x) x→xo-o точка устранимого разрыва, тогда возможно:

а) в точке хо f(х) не определена

б) в точке хо f(х) определена, но ее предел не равен значению ф-ции в этой точке

2) предел слева не равен пределу справа - точка скачка

Если хотя бы один из односторонних пределов не сущ. или =∞, то ф-ция имеет разрыв 2 рода.