- •1. Множества. Способы задания множеств. Универсальное множество, пустое множество. Подмножества. Конечное, счетное и несчетное множества.
- •2. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Свойства этих операций.
- •3. Числовая прямая. Числовые промежутки. Ε-окрестности. Модуль действительного числа.
- •4. Определение числовой последовательности. Понятие об ограниченной и монотонной последовательности.
- •8. Определение функции и способы ее задания. Свойства функции: монотонность, ограниченность, четность. Определение обратной и сложной функции.
- •12. Определение бесконечно большое функции. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •13. Свойства пределов функций
- •15. Т. О сжатой переменной.
- •18. Замечательный тригонометрический предел.
- •19. Число e. Натуральный логарифм.Второй предел
- •12. Класс. Бмф; (т) о замене бмф на эквивалентные бмф
- •23. Теорема о сохранении знака непрерывной функции
- •24. Приращение функции. Признак непрерывности функции в точке.
- •25. Теоремы о функции непрерывной на замкнутом промежутке
- •27. Геометрический смысл производной
- •29. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •31. Теорема о производной сложной функции.
- •32. Теорема о производной обратной функции
- •33. Определение функции, дифференцируемой в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
- •34. Дифференциал функции и его свойства. Геометрический смысл дифференциала.
- •37. Теорема Ферма
- •38. Теорема Ролля
23. Теорема о сохранении знака непрерывной функции
Пусть функция f(x) непрерывна в точке X0 и f(X0) ≠0.Тогда сущ-ет б>0 такое,что для всех x принадлеж. (X0-б, X0+б) функция f(x) имеет тот же знак,что f(X0).док-во: пусть f(X0)>0.тогда в силу второго определения непр функции(если бм приращению аргумента соответствует бм приращение функции) для любого Е>0 сущ-ет б>0 такое,что неравенство │ f(x) -f(X0)│<Е выполняется для всех x,удовл условию │ x -х0│<б,или,что тоже самое,выполн неравенства:
f(X0)-Е< f(x)< f(X0)+Е для всех x принадлеж. (X0-б, X0+б).Возьмем Е=f(x0).тогда из левого неравенства f(X0)-Е< f(x)< f(X0)+Е получаем:f(x)>0 для всех принадлеж. (X0-б, X0+б).
если же f(X0)<0,то рассмотрим - f(x).т.к - f(x0)>0,то по док-ому сущ-ет б-окр т. X0,где - f(x)>0,след f(x)<0.
24. Приращение функции. Признак непрерывности функции в точке.
Функция определена в некоторой окрестности точки хо. Возьмем произвольное х из этой окрестности, ∆х=х-хо - приращение аргумента. Пусть у=f(х), уо=f(хо), тогда ∆у=у-уо=f(х)-f(хо) приращение функции.
Функция называется непрерывной в точке хо, если бесконечно малому приращению агрумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
lim ∆y=0
∆x→0
Доказательство: lim f(x)=f(xo) x→xo
lim f(x) -f(xo)=0
lim f(x)-lim f(xo)=0
lim (f(x)-f(xo))=0 x-xo→0
lim ∆y=0 ∆x→0
25. Теоремы о функции непрерывной на замкнутом промежутке
ф-ция f(х) называется ограниченной на отрезке [a;b] если сущ. такое число с>0, что │f(х)│<с для всех х из [a;b].
1-ая теорема Вейерштрасса: всякая непрерывная на данном отрезке функция ограничена на этом отрезке.
2-ая теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на [a;b], то достигает не нем своего наибольшего и наименьшего значения.
3. Если функция непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри [a;b] найдется хотя бы одна точка С, в которой данная функция обращается в 0, то есть корень функции.
4. Если f(x) непрерывна на [a;b] и f(a)=A, f(b)=B, то для любого числа C(C>A, C<B) найдется такое c,что f(c)=C.
5. Множество значений функции, непрерывной на отрезке, есть отрезок.
26. Определение производной функции. Правосторонняя и левосторонняя производные.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если приращение стремится к 0(при условии что этот предел существует)
y'=lim ∆f/∆x= lim f(x+xo)-f(xo)/∆x
Обратим внимание что предел может существовать и быть конечным, тогда говорят, что в данной точке функция имеет конечную производную. Если предел существует и бесконечен, тогда ф-ция им. бесконечную производную. Если предел не сущ., то и производная не сущ.
Функция, имеющая производную в каждой точке данного интервала назыв. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ, а операция ее нахождения ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ.
Существуют ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ функции y=│x│ lim ∆y/∆x x→0-0 и lim ∆y/∆x x→0+0 и обозначаю f'_(x) и f'+(x). Если они не равны, то производная в точке не существует.