32. Теорема о производной обратной функции

Пусть y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна в окрестности точки хо.

g=f-1(y) - обратная к ней. Тогда если y=f(x) имеет производную в точке хо, отличную от 0, то обратная функция также имеет в точке yo=f(xo) конечную не =0 производную, которую находят по формуле.

f-1'(yo)=1/f'(xo)

Доказательство: По определению производной f-1'(yo)=lim f-1(yo+∆y)-f-1(yo)/∆y= lim xo+∆x-xo/f(xo+∆x)-f(xo)=lim∆x/f(xo+∆x)-f(xo)

Переход на основании 2ого определения непрерывности функции

lim∆x/f(xo+∆x)-f(xo)= lim∆x/f(xo+∆x)-f(xo)* ∆x\∆x= lim 1/f(xo+∆x)-f(xo)\∆x=1/f'(xo)

33. Определение функции, дифференцируемой в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

y=f(x) называется дифференцируемой в точке хо если ее приращение ∆у можно представить в виде ∆у=А*∆х+g(∆x)* ∆x где А- независимое число, g(∆x)- б.м. ф-ция при ∆x→0

Теорема: Чтобы y=f(x) была дифференцируема в точке хо необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство: Необходимость

y=f(x) дифференцируема, значит имеет конечную производную и по определению ее приращение можно представить в виде ∆у=А*∆х+g(∆x)* ∆x│: ∆x

∆у/∆x=А+ g(∆x)

lim ∆у/∆x=lim А+ g(∆x)=A

Достаточность

Пусть у функции y=f(x) существует конечная производная. Докажем что она дифференцируема.

lim (∆у/∆x-А)=0

g(∆x)=∆у/∆x-А│* ∆x

g(∆x) *∆x =∆у-А*∆x

∆у=А*∆х+g(∆x)* ∆x

34. Дифференциал функции и его свойства. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть y=f(x) дифференцируема в точке хо, тогда ее приращение ∆у можно представить в виде суммы 2х слагаемых ∆у=А*∆х+g(∆x)* ∆x, где g(∆x)- бесконечно малая функция при ∆x→0. Рассмотрим слагаемое А*∆х, оно является бесконечно малым одного порядка с ∆х.

lim А*∆х/∆х=A не = 0

Рассмотрим 2ое слагаемое g(∆x)* ∆x, оно явл. б. малым более высокого порядка чем ∆x

lim g(∆x)* ∆x/∆x= lim g(∆x)=0, то есть А не =0 является главной частью приращения y=f(x). ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ функции y=f(x) в точке хо называется главная линейная относительно ∆x часть приращения ф-ции в этой точке dу=A*∆x. Если А=0, то и в этом случает полагают что A*∆x является главной частью приращения и dу=0. Учитывая что А=f'(xo) получаем dу=f'(xo)*∆x

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Дифференциал функции y=f(x) в точке хо равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда хо получит приращение ∆x.

35. Применение дифференциала для приближенных вычислений

Как уже известно приращение дифференцируемой функции можно записать в виде ∆у=А*∆х+g(∆x)* ∆x т.к. первое слагаемое явл. главной частью приращения, то отбросим бесконечно малое g(∆x)* ∆x более высокого порядка чем ∆x, получим приближенное равенство ∆у~А*∆х A=f'(xo) ∆у~f'(xo)*∆х ∆у~dy

dy=f(xo+∆х)-f(xo) dy~f'(xo)*∆х

f(xo+∆х)~f(xo)+ f'(xo)*∆х

36. Производные и дифференциалы высших порядков

Понятие производной n-ого порядка

Производная f'(x) ф-ции y=f(x) сама является некоторой функцией аргумента Х, следовательно, по отношению к ней можно снова ставить вопрос о существовании и нахождении производной. Назовем f'(x) ф-ции y=f(x) ПРОИЗВОДНОЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Производная от производной некоторой функции называется ПРОИЗВОДНОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПРОИЗВОДНАЯ N-ОГО ПОРЯДКА- это производная от производной n-1 порядка функции.

Дифференциалы высших порядков

dy=f'(x)*dx назовем дифференциалом ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Пусть f'(x) дифференцируема в некоторой точке х, тогда ДИФФЕРНЦИАЛ ВТОРОГО ПОРЯДКА получим как дифференциал от дифференциала первого порядка d(f'(x)dx).

ДИФФЕРЕНЦИАЛ N-ОГО ПОРЯДКА

d(n)y=f^n"(x)*dx^n