4. Определение числовой последовательности. Понятие об ограниченной и монотонной последовательности.

Числовой последовательностью назовем функцию натурального аргумента аn=f(n), n-натуральное число, обозначается {хn} nϵN. n- номер члена числ. посл., хn- н-ый чл. ч.п.

Последовательность считается заданной, если известно правило вычисления любого члена последовательности. Этим правилом может служить формула общего члена.

Монотонность: Последовательность называется возрастающей(неубывающей), если для любого n выполняется an+1>an(≥). Аналогично определяется убывающая(невозрастающая) последовательность.

Последовательность явл. ОГРАНИЧЕННОЙ, если существует такое число М>0, что для любого nϵN выполняется │хn│≤M.

5. Определение предела числовой последовательности. Сходящаяся последовательность. Теорема о сходимости монотонной и ограниченной последовательности.

Число а называется пределом последовательности {хn}, если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство │хn-а│<ε. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Последовательность сходится, если ее предел- определенное число.

6. Теорема о единственности предела числовой последовательности

Сх-ся пслд имеет только 1 предел.Док-во от противного.Предположим,что Xn имеет 2 предела. Lim Xn=A при n→∞ и Lim Xn=В при n→∞.A≠B.например A<B.Возьмем в качестве E=(B-A)/2.Тогда по опр предела сущ-ет N1: для любого n>N1→│Xn-A│<E. сущ-ет N2:для любого n>N2→│Xn-B│<E Пусть сущ-ет N=max {N1;N2}.для любого n>N будут выполняться след неравенства. 1)A-E<Xn<A+E 2)-E<Xn-B<E B-E<Xn<E+B Эти нерав-ва означают,что эл-т Xn находятся одновременно в окрестности чисел A и B.они по нашему предположению не пересекаются. Поэтому противоречие.

7. Определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Связь бб и бм последовательностей.

Последовательность {хn} называется БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ, если для любого положительного числа М существует такой номер N, что для всех элементов последовательности с номерами n>N выполнено неравенство │хn│>М.

Последовательность {хn} называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ, если для любого положительного числа М существует такой номер N, что для всех элементов последовательности с номерами n>N выполнено неравенство │хn│<М.

Связь(теорема)

Если последовательность {хn} бесконечно большая и все ее члены не равны 0, то {1\ хn} будет бесконечно малой. и наоборот

доказательство: Пусть {хn} ббп, возьмем произвольное А>0, М=1\А

по определению ббп для М существует такой номер N, что для всех элементов с номерами n>N выполнено │хn│>М. тогда 1\ хn<1\ N 1\ хn<А, согласно определению это означает что {1\ хn} будет бесконечно малой. Обр. утверждение доказывается аналогично.

8. Определение функции и способы ее задания. Свойства функции: монотонность, ограниченность, четность. Определение обратной и сложной функции.

Числовую величину Х назовем переменной величиной, если она может принимать различные значения. Каждому элементу Х сопоставлен единственный элемент У. Функция определена, если задано: 1) ООФ. 2) мнж-во У. 3) Правило сопоставления элементов У элементам Х.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ: 1) Табличный-ф-ция задается таблицей ряда значений аргумента и соотв. им. знач-ям ф-ции. 2) Графический-график функции: знач-я ф-ции У, соответствующие значениям Х нах-ся непосредственно из графика.(+) наглядность. (-) неточность. 3)Аналитический. ф-ция задается в виде одной или нескольких формул. это наиболее совершенный способ задания функции, тк к нему приложены методы мат.анализа, позволяющие полностью исследовать ф-цию.

Свойства: монотонность f(х1)<f(х2)-возрастающая, f(х1)≤f(х2)-неубывающая, f(х1)>f(х2)-убывающая, f(х1)≥f(х2)-невозрастающая.

Ограниченность: функцию у=f(х), определенную на множ-ве D называют ограниченной, если на этом множ-ве сущ. такое число М>0, что для всех х из D выполняется │f(х)│≤М

четность^ четная: f(-х)=f(х), нечетная:f(-х)=-f(х)

обратная функция:Пусть задана функция у=f(х) с обл. опр-я D и множ-вом знач. E. Если каждому знач-ю уϵЕ соотв. единственное знач-е хϵD, то определа ф-ция х=φ(у) с обл. опр-я Е и множ-вом знач-ий D. Такая ф-ция φ(у) называется обратной к f(х).

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ: Пусть функция у=f(а) определена на множ-ве D, а ф-ция a=φ(x) на D1, причем для любого х из D1 соответствующее значение a= φ(x) принадлежит D. Тогда на D1 определена ф-ция а=f(φ(х)) которая называется сложной функцией от х, суперпозицией или ф-цией от ф-ции.

9. Определение предела функции на языке ε- δ( различные случаи: в точке, на + и -бесконечности, конечный и бесконечный пределы)

Пусть ф-ция f(х) опр в некоторой окрестности точки хо кроме быть может самой точки хо.

КОНЕЧНЫЙ ПРЕДЕЛ В ТОЧКЕ

Число А называется пределом f(х) в точке х=хо при х стремящемуся к хо lim f(х)=δ, если для любого ε>0 найдется такое δ>0 что для всех х не равных хо удовлетворяющих │х-хо│<δ, выполняется условие │f(х)-а│<ε

КОНЕЧНЫЙ ПРЕДЕЛ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Число А называется пределом f(х) при х→∞, если для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для всех х таких, что │х│>δ выполняется │f(х-А)│<ε

Бесконечный предел в конечной точке

Предел f(х)=∞ в точке х=хо при х→хо. если для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для всех х не равных хо удовл: │х-хо│<δ выполняется │f(х)│>ε

БЕСКОНЕЧНЫЙ ПРЕДЕЛ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Предел f(х)=∞ при х→∞, если для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для всех х таких что │х│>δ выполняется │f(х)│>ε

10. Бесконечно малая функция. Свойства бесконечно малых функций.

Функция f(х) называется бесконечно малой, если ее предел при х→хо равен 0

если для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для всех х таких что │х-хо│<δ выполняется │f(х)│<ε

Свойства

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2. Произведение ограниченной ф-ции на б.м. ф-цию есть б.м. функция

3. Произведение двух б.м. есть б.м. функция.

4. Произведение б.м. ф-ции на число есть б.м. функция.

5. Если f(х) б.м. ф-ция, то 1\ f(х)-б.б. ф-ция и наоборот

6. Частное от деления б.м.ф на функцию, имеющую отличный от 0 предел, есть б.м.ф.

11. Теорема о связи функции и ее предела.

Если функция f(х) имеет предел равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х). т.е если lim f(x)=A при х→хо, то f(х)=А+ α(х)

Доказательство: Пусть lim f(x)=A при х→хо следовательно

для любого ε>0 найдется такое δ>0, что для всех х таких что 0 <│х-хо│<δ

т.о. │f(x)-А│<ε что равнозначно │f(x)-А-0│<ε. Это означает что функция f(x)-А имеет предел =0, т.е. является бесконечно малой функцией, кот-ую обозначим через α(х). f(x)-А= α(х) отсюда f(x)=А+ α(х)

Верно и обратное утверждение.