27. Геометрический смысл производной

Прямая у-уо=к(х-хо), угловой коэффициент которой равен значению производной в точке, называется КАСАТЕЛЬНОЙ к графику функции в точке(xo;f(xo)).

Рассмотрим секущую, проходящую через точку (xo;f(xo)) и (xo+∆х;f(xo+∆х)). При ∆х→0, т.е. секущая стремится занять положение касательной, говорят что касательная это предельное положение секущей, следовательно геометрический смысл производной состоит в том, что она равна угловому коэффициенту(тангенсу угла наклона) касательной в точке касания.

f'(xo)=k=tgα

y-yo=f'(xo)*(x-xo) ур-е касательной

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

y-yo=-1\f'(xo)*(x-xo) ур-е нормали

28. Теорема о связи сущ-ния произв. и непрерывности в точке (т) если ф-ция дифференцируема в (.) х, то она непрерывна в ней. Док-во: пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой (.) х => сущ-ет limDу/Dх(при Dх->0)=f`(x)(из определения произв.) Отсюда [ по (т) о связи ф-ции, ее предела и бмф (бил. 11): Если ф-ция имеет lim=A (при х->x0), то ее можно представить в виде суммы числа А и бмф а(х), те lim f(x)=A при х->x0 , то f(x)=A+a(x) ] имеем Dу/Dх=f`(x)+a, где а->0, при Dх->0, те Dy=f`(x)*Dx+a*Dx. Переходя к пределу, при Dх->0, получаем limDy(при Dх->0)=0. А это и означает, что ф-ция y=f(x) непрерывна в т.x (согласно 2ому опред. непрерывности ф-ции в точке) ?? Док-во 2: т к ф-ция дифф. в (.) х0, то ее приращение мб представлено в виде Dу=A*Dx+a(Dx)*Dx [ по (т) о дифференцируемости ф-ции в точке (бил.33: Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируемой в (.) х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную] Перейдём к lim при Dx->0: limDy(при Dx->0)=lim(A*Dx+a(Dx)*Dx)(при Dх->0)=0 Следовательно, ф-ция непрерывна согласно 2ому опред. непрерывности.

29. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.

1. Производная суммы(разности)= сумме(разности) производных.

2. Производная произведения= произведение производной первого сомножителя на второй + первый сомножитель на производную второго.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

4. Производная частного

как произведение но в знаменателе квадрат второго сомножителя

31. Теорема о производной сложной функции.

Пусть y=f(u) b u=g(x) y=f(g(x)) сложная функция, с промежуточным аргументом u, и независимым аргументом x.

Теорема

Пусть u=g(x) дифференцируема в точке хо, а y=f(u) дифференцируема в точке uo, где uo=g(xo), тогда сложная функция y=f(g(x)) имеет производную в точке хо, и справедлива формула:

y'(xo)=f'(uo)*g(xo)

Доказательство: По определению производной y'(xo)=lim f'(g(xo+∆x)) -f(g(xo))\∆x (∆x→0) т.к. ф-ция y=f(u) дифференцируема в точке uo и f'(uo)=limf(uo+∆u)-f(uo)/∆u

Применим теорему о существовании предела: если lim f(x)=a, f(x)=a+m(x).

f(uo+∆u)-f(uo)/∆u=a+m(∆u)│*∆u

f(uo+∆u)-f(uo)=(f"(uo)+ m(∆u))* ∆u

т.к. u=g(x) f(uo+∆u)-f(uo)= f(g(xo+∆x)) -f(g(xo))

y'(xo)= limf(uo+∆u)* ∆u/∆x

y'(xo)= limf(uo+∆u)+ lim ∆u/∆x

y'(xo)=f'(uo)*g(xo)