18. Замечательный тригонометрический предел.

. Док-во: возьмём единичную окружность. Угол МОВ=х 0<x</2. площадь треугольника МОВ меньше, чем площадь сектора МОВ и меньше, чем площадь треугольника СОВ. |MA|=sin x=MA/OB=MA/1, |CB|=tgx=BN/OB.

S_∆MOB=1/2 OB*AM. S сект=1/2 R²α

по теореме о сжатой переменной

19. Число e. Натуральный логарифм.Второй предел

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2.7182.обозначают как ln(x), log_e(x).

Число е.Значение предела вида

lim(1+1/n)ⁿ=е при x→∞ обозначается е

рассмотрим посл с общим Xn=(1+1/n)n.Эта посл монотонно возр и огр.для док-ва разложим по биному ньютона

Рисунок

Выражение в каждой скобке представляет собой правильную дробь.если выражения(знам>числителя).Если выражения в каждой из этих скобок заменить 0,то правая часть равенства уменьшится,и вместо равенства получим неравенство вида.

(1+1/n)ⁿ>2

При n>1 все слагаемые положительны,причем с возр номера n увелич и число слагаемых,и каждое слагаемое в отдельности→пслд Xn=(1+1/n)ⁿ возр с возр номера n,начиная с наименьшего значения равного двум.→огр снизу.если же в правой части выражения в каждой скобке заменить единицей 1,а все множителизнаменателей,начиная с третьего-на двойки,то получим сумму ,большую первоначальной: (1+1/n)ⁿ<2+1/2+1/2²+..+1/2^n-1

по формуле суммы n членов геометр прогрессии S_n=(b1(1-qⁿ) )/1-q

b-первый член,q-знаменатель прогрессии,поэтому имеем(рис2)Поэтому (1+1/n)ⁿ <3→огр сверху.посл с общим членом Xn=(1+1/n)ⁿ возр с возрастанием номера n и ограничена →имеет предел,заключенный м/у числами 2 и 3 и равен е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где  — это целая часть x. Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.Из двух этих случаев вытекает, что  для вещественного x.    

12. Класс. Бмф; (т) о замене бмф на эквивалентные бмф

Пусть a(x) и b(x) – бмф, т е lim a(x)(при х->x₀)=0 и lim b(x)(при х->x₀)=0:

1. если а-const, то а(x) и b(x) – бмф одного порядка

2. если , то a(x) – бмф более высокго порядка, чем b(x)

3. если , то а(x) – бмф более низкого порядка, чем b(x)

4. если (не сущ-ет), то бмф а(х) и b(x) – несравнимые

5. если , то а(x)~b(x) эквиваленты

(т) Предел ф-ции не изменится, если одну бмф заменить на эквивалентную ей.

Пусть а~a` и b~b` при х->x₀. Тогда lim a/b(при x->x₀) = lim (a/b * a`/a`* b`/b`)(при х->x₀) = lim a/a`(при х->x<sub>0</sub>)*lim b`/b (при x->x₀)*lim a`/b`(при х->x₀) = 1*1*lim a`/b`(при х->x₀), те lim a/b(при х->x₀) = lim a`/b`(при х->x₀)

Аналогично, если заменять только одну бмф.