Лекции УМФ (ММФ) 2008
.pdfУРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Кубраков Николай Федорович
Кафедра «Моделирование радиофизических процессов» (ИОФ РАН, Теоретический отдел). Зав. Кафедрой - Лубашевский Игорь Алексеевич
Примеры задач математической физики
|
|
I. Колебания струны |
F f (x,t) l |
||||||
Y |
|
|
|
|
|
|
|||
u(x,t) |
|
|
|
|
|
|
T(x x) |
||
|
|
|
|
T(x) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
x |
|
|
|
l X |
x x x |
|||
|
1. Струна – бесконечно тонкая упругая нить длиной |
l . |
|||||||
|
Колебания происходят в вертикальной плоскости. |
|
|||||||
|
2. Однородность: линейная плотность струны |
m const, l 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
3. Струна абсолютно гибкая (не сопротивляется изгибу). сила |
||||||||
|
натяжения T направлена по касательной. |
|
|
|
|||||
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
4. Колебания малые: l |
|
1 (u / x)2 dx xСтруна. |
как-бы не |
|||||
|
растягивается. |
| T | T x |
const(Закон Гука). |
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
5. Действует внешняя сила, которая направлена вверх. f (x,t) - линейная
плотность силы (известная функция). |
Продольные колебания? |
|
u(x,t)
0 |
l x |
Постановка смешанной задачи о вынужденных колебаниях ограниченной струны
|
2u |
|
|
2 2u |
|
|
|
|
|
|
Одномерное волновое уравнение |
|
|||||||||
|
(x,t) a |
(x,t) g(x,t), |
для вынужденных поперечных |
|
|||||||||||||||||
|
t2 |
|
x2 |
колебаний струны (уравнение в |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частных производных второго |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка, неоднородное) |
|
||||
u(x,0) u0 (x), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Начальные условия (отклонение и скорость точки струны с |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координатой |
x [0,lпри] |
|
t ).0 |
u (x), u (x) |
|
||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1- известные |
|
||||||||
|
(x,0) |
u1 (x), |
|
функции определяющие каким образом струна |
|
||||||||||||||||
|
t |
|
возбуждается. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(0,t) u(l,t) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Граничные условия |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
T0 |
|
|
, g(x,t) |
|
f (x,t) |
, |
[a] м / с, [g] м / с2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
II. Колебания мембраны |
|
||
|
u(x, y,t) |
1. Мембрана – бесконечно |
|
||
|
тонкая пленка равномерно |
|
|||
|
|
натянутая на плоский |
контур . |
||
|
|
В состоянии покоя она |
|
||
|
|
представляетS |
собой областьXY |
в |
|
y |
плоскости декартовой системы |
||||
|
|
координат. 2. Мембрана |
|
||
|
|
однородна: поверхностная |
|
||
x |
F p(x, y,t) S |
плотность |
|
|
|
m const, S 0. |
|
||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
3. Мембрана абсолютно гибкая |
|||
M |
|
(не сопротивляется изгибу). |
|
||
4.Колебания малые: нормаль к поверхности почти ортогональна плоскости. Линейная плотность силы натяжения T const.
5.Внешняя сила направлена вверх. p(x, y,t)- давление (известная функция).
|
u(x, y,t) |
|
y |
x |
F p(x, y,t) S |
2u a2t 2
Постановка смешанной задачи о вынужденных колебаниях мембраны
Двумерное волновое уравнение описывающее вынужденные поперечные колебания мембраны (уравнение в частных производных второго порядка, неоднородное)
|
2u |
|
2u |
g(x, y,t), |
(x, y) S |
|
|
x2 |
y2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Начальные условия (отклонение и скорость точки мембраны с координатой (x, y) при t 0). u0 (x, y), u1(x, y- )известные функции возбуждения.
u(x, y,0) u |
0 |
(x, y), |
u (x, y,0) u (x, y), |
(x, y) S |
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Граничные условия |
|
u(x, y,t) 0, |
(x, y) |
a |
T |
, |
g(x, y,t) |
p(x, y,t) |
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
[T ] н / м, [a] м / с, [g] м / с2
|
|
|
X 3 |
|
|
x |
E(x,t) III. Электромагнитное поле в вакууме |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения Максвелла (в СИ) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H(x,t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
H |
|
||||||||||
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 2 |
|
|
|
|
|
|
rotH 0 |
t , |
rotE 0 |
t |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x (x1, x2 , x3 ) |
|
|
|
divE 0, |
|
divH 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
rotH |
|
2E |
, |
|
|
|
|
1 |
|
rotrotE 0 |
2E , |
|
divE 2E |
|
|
2E |
||||||||||||||||
|
|
0 t2 |
|
0 |
|
0 t2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
- оператор |
|
0 |
8.85 10 12 Ф / м, 0 4 10 7 Гн / м |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x2 |
x2 |
x2 |
Лапласа |
|
c |
|
3 108 м / с - скорость света |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
в вакууме |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
с |
|
|
|
Трехмерное волновое уравнение |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение Гельмгольца |
|
|
|
|
|||||
E exp( i t) |
|
|
2 |
E k |
2 |
E 0 |
|
(появляется в задачах дифракции). |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
k / c – волновое число.
IV. Изменение температуры твердого тела
X 3 |
S |
G
X1 |
X 2 |
Если некоторые области тела находятся при разной темперетуре в начальный момент времени, то со временем температура становится одинаковой. Чтобы определить как меняется температура в точке , необходимыx G предположения: (1) Тело однородное и изотропное, (2) Внутри него нет источников тепла, (3) Распределение температуры в начаьлный момент времени известно, (4) Темперетура на поверхности определена.
Уравнение теплопроводности
u (x,t) a2 2u(x,t), |
x G |
|
|
|
|
|
|||
t |
|
|
|
|
k |
|
- коэффиент температуро- |
||
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
||
Начальное условие |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
c проводности |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(x,0) (x), |
x G |
|
|
||||||
|
|
k |
- коэф. теплопроводности |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
- теплоемкость |
|
Граничное условие |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
- плотность тела |
||
u(x,t) (x,t), |
x S |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
V. Квантовая частица в потенциалином поле
X 3 |
S |
Частица массы |
m находятся |
в области G , которая |
|
|
|
||||
|
|
ограничена гладкой поверхностью S . |
|||
|
G |
Потенциал поля V (x) , |
x (Sна частицу действует |
||
|
|
||||
|
|
бесконечно большая сила, |
отталкивающая ее от ). В |
||
X1 |
X 2 |
областиS |
потенциалG |
– |
некая гладкая функция |
координаты x . |
|
|
|
||
Состояние частицы описывается волновой функцией .(x,t)
Уравнение Шредингера
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
i |
t |
(x,t) |
|
2 |
(x,t) V (x) (x,t), |
x G |
||||
|
||||||||||
|
|
|
2m |
|
|
|
1.054 10 34 Дж с |
|||
|
|
|
Начальное условие |
|
|
- постоянная Планка |
||||
(x,0) 0 (x), |
x G |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Граничное условие |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,t) 0, |
x S |
VI. Экранирование поля статического заряда
X 3 |
|
S |
|
|
|
|
|
G |
Точечный заряд Q находится вне бесконечно тонкой |
||||
|
проводящей поверхности S , которая является |
|||||
|
|
границей области G. Каким будет потенциал u(x) и |
||||
X1 |
Q |
напряженность электрического поля E(x) вне G? |
||||
x |
X 2 |
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внешяя задача Дирихле |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u(x) 0, |
x 3 \ G, |
x x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Граничное условие
u(x) u0 const, |
x S |
Классификация уравнений второго порядка
u(1,..., n ) удовлетворяет каноническому уравнению
n |
|
2 |
u |
|
|
|
u |
|
u |
|
|
Ck |
|
F 1 ,..., n |
,u, |
,..., |
0, |
( ) |
|||||
|
|
2 |
|
|
|||||||
k 1 |
k |
|
|
1 |
n |
|
|||||
|
|
|
Ck |
1, 1, 0, |
k 1,..., n |
(n 4) |
|
||||
Уравнение |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
называется уравнением |
|
|
|
||||||||
(a) Эллиптического типа, если все коэф-ты |
Ckодинаковы (1 или –1) |
||||||||||
(b) Гиперболического типа, если |
n 1коэф-тов равны 1 и один –1. |
||||||||||
(c) Параболического типа, если один из коэф-тов равен нулю, а
остальные равны 1.
Приведение к каноническому виду осуществляется путем замены переменных