Лекции УМФ (ММФ) 2008

Функция Грина внутренней задачи Дирихле

x

,

y D,

G(x, y)

1

R1 (x, y) v(x, y)

D

- функция Грина

4

y D,

x S,

G(x, y) 0

граничное условие

S

y

n

Свойства функции Грина

x

1. G(x, y) гармоническая D \{y},

D

непрерывная в D \{y},

G(x, y) 0,

x S,

G(x, y) ,

x y,

2.

0 G(x, y)

1

R1 (x, y) , (следствие принципа максимума),

4

v(x, y)

1

R1 (x, y),

x S,

4

3. (Физический смысл)

G(x, y) потенциал (с точностью

до множителя) поля точечного заряда (в точке y D) внутри

заземленой замкнутой проводящей поверхности S.

2G(x, y) (x y)

G(x, y)

отклик на точечный

x

"функция источника").

источник (G

S

n

1

1

Q

G(x, y) 4 R (x, y) v(x, y)

x

y

потенциал поля точечного

D

заряда + потенциал поля индуцированного

заряда на S.

Построение функций Грина

1. D шар радиуса a

D

S

y точка симметричная точке y

y

относительно S :

0

a

2

R(x, y )

y y

R(x, y)

,

i 1, 2, 3

i

i R2 (0, y)

x

1

a2

1

a2

R(0, y ) ( y 2

y 2

y 2 ) 2

( y2

y2

y2 ) 2

.

1

2

3

R2

(0, y)

1

2

3

R(0, y)

R(0, y )

a

.

a

R(0, y)

S

y

G(x, y)

1 R1 (x, y) R1

(x, y )

D

y

4

const ???

0

a

x

x S

R 1 (x, y) R 1 (x, y )

x S

R(0, y )

a

0 xy

0 xy

a

R(0, y)

R(x, y )

a

R1 (x, y ) R(0, y) R1 (x, y),

x S,

R(x, y)

R(0, y)

a

aR1 (0, y).

G(x, y) 1

R1

(x, y) aR1 (0, y)R1 (x, y ) ,

x D, y D

4

- функция Грина для шара

x1

cos sin ,

x2

sin sin ,

x3

cos ,

y1

r cos sin ,

y2

r sin sin ,

y3

r cos .

R(x, y) (( y x )2 ( y

2

x )2

( y x )2 ) 12

(r 2 2r 2 ) 12 ,

1

1

2

3

3

cos cos sin sin cos( ),

R(0, y) r,

R(x, y ) (( y

x )2 ( y

x )2

( y

x )2 ) 12

1

1

2

2

3

3

2

2

2

2

2

2

12

a

a

a

y1

x1

y2

x1

y3

x1

2

2

2

r

r

r

R(x, y )

a

2r

r2

2 12

a2

.

2

r

a

G(x, y) G( , , ; r, , )

1

2 2

1

2

1

r2

2r 2

r

2

a2

2r

4

a2