Лекции УМФ (ММФ) 2008

1

(n m)! 2 nk

m

m

(x)dx

- свойство ортогональности

Pk

(x)Pn

(n

m)! 2n 1

присоединенных функций Лежандра

1

(n m)! 2 nk

m

m

x cos ,

Pk

(cos )Pn (cos )sin d

(n m)! 2n 1

0

Теорема сложения для полиномов Лежандра

Pk (cos cos sin sin cos( )) Pk (cos )Pk (cos )

n0

k (k m)! m

m

X3

2m 1 (k m)! Pk

(cos )Pk (cos ) cos m( )

n

(n,n0 ) cos cos sin sin cos( )

X 2

- скалярное произведение единичных векторов

X1

ортогональных сфере с центром в начале системы координат

1

Y

1

2Y

sin

Y 0

sin

2

2

sin

Y ( , ) ( )( )

d

d

d 2

2

sin

sin

sin

0

d

2

d

d

sin

d

d

2

1 d 2

sin

sin

d

2

d

d

1

d

sin

d

0

2

sin d

d

sin

d 2

0

d 2

d 2

( ) ( )

0,

[0, 2 ]

d 2

- задача Штурма-Лиувилля с

( ) ( 2 )

условием периодичности

(1)

0,

( ) Aexp(

| | ) B exp( | | ),

( ) ( 2 )

A B 0

(2)

0,

( ) A B,

A B A( 2 ) B

A 0, ( ) const

(3)

0,

( ) Acos

B sin

,

( ) ( 2 )

m,

m 1, ...

m

m2 ,

m

( ) A cos m B sin m ,

m 0, 1, ...

m

m

1

Y

1

2Y

sin

k (

, )

k

( , ) k(k 1)Yk

( , ) 0

sin

2

2

sin

k

Yk ( , ) km ( ) m ( ) ( Akm cos m Bkm sin m )Pkm (cos )

m0

m0

- сферическая функция порядка k

Y m ( , ) Pm (cos ) cos m ,

k

k

- фундаментальные

Y m ( , ) Pm (cos )sin m ,

сферические функции

k

k

m 0, 1, ..., k

2

2

(1

mm ,

mm

,

cos m cos m d

m0 )

sin m sin m d

0

2

0

sin m cos m d

0,

0

2

d Ykm ( , )Ykm ( , )sin d

0

0

2

m

m

(cos

(cos

)sin

cos m

cos m d

Pk

)Pk

d

0

0

2 (1 m0 )

(k m)!

(1

)

mm

Pm (cos )Pm

(cos )sin d

mm

m0

k

2k 1

k

(k m)! kk

0

d

dZ

k

k Zk (r) 0

r2

(r)

dr

dr

Zk (r) Ck r

k

Ck

- общее решение

rk

1

k

u(r, , ) rk ( AkmYkm ( , ) BkmYk m ( , ))

k 0

m0

1

k

m

m

( AkmYk

( , ) BkmYk

( , ))

r

k 1

k 0

m0