Лекции УМФ (ММФ) 2008

(k 1)Pk 1 ]

k 1

0

[Pk

xPk 1

k 0

(k 1)Pk 1 0

Pk

xPk 1

(x) kPk (x) 0

(2)

Pk 1

(x) xPk

(3)

Pk (x)

xPk 1 (x) kPk 1 (x) 0

P

(x) xP (x)

Pk (x) k

1

( )

- производная полинома

(2), (3)

k

k

x

2

1

Лежандра

(3)

(k 1)Pk

(x) 0 (4)

Pk 1 (x)

xPk (x)

(x)

- представление

(2), (4)

Pk (x)

Pk 1

(x) Pk 1

полинома через

2k 1

( )

производные

2

P (x)

((1

x

)Pk

(x))

k(k

1)Pk

(x)

0,

m

умножение и вычитание

((1 x2 )P

(x)) m(m 1)P (x) 0,

Pk (x)

m

m

2

Pk

2

Pm (x)((1 x

)Pk

(x))

(x)((1 x

)Pm

(x))

(m(m 1) k(k 1))Pk (x)Pm (x),

d

2

Pk

(x))

(m k)(k m 1)Pk (x)Pm (x)

dx

(1 x )(Pm (x)Pk (x)

(x)Pm

1

Pk (x)Pm (x)dx 0,

k m

1

1

2k 1

1

- рекуррентная формула

Pk (x)Pk (x)dx

Pk 1 (x)Pk 1 (x)dx

2k 1

для вычисления интеграла

1

1

1

2k 3

1

P

(x)P

(x)dx

2k 1

P

(x)P

(x)dx

k 1

k 1

k 2

k 2

1

...

1

1

P (x)P (x)dx

3

1

P (x)P (x)dx

2

2

5

1

1

1

1

1

P (x)P (x)dx

1

1

P (x)P (x)dx

1

2

1

1

3

0

0

3

1

1

1

2 km

Pk

(x)Pm

(x)dx

- свойство ортогональности

2k

1

полиномов Лежандра

1

2 km

x cos ,

Pk (cos )Pm (cos )sin d

2k 1

0

2k

1

1

f (x) ak Pk (x),

ak

f (x)Pk (x)dx,

x [ 1, 1]

2

k 0

1

1

1

f (x)Pm (x)dx ak Pk (x)Pm (x)dx,

1

k 0

1

a

km

2a

... 2

k

m

2k 1

2m 1

k 0

1

f (x) ak Pk (x),

ak (k 1 2) f (x)Pk (x)dx,

x [ 1, 1]

k 0

1

1

1

f (x)Pm (x)dx ak Pk (x)Pm (x)dx,

1

k 0

1

a

km

2a

... 2

k

m

2k 1

2m 1

k 0

X3

x0 Q

Разложение потенциала поля точечного

R(x0

, x)

заряда в ряд по полиномам Лежандра

x

Q

u(x)

R1 (x , x),

X

4 0

0

2

X1

R(x0 , x) ((x1

x01 )

2

(x2 x02 )

2

(x3

x03 )

2

)

1

2

,

x1 r cos sin ,

x2 r sin sin ,

x3

r cos ,

x01 cos sin ,

x02

sin sin ,

x01 cos ,

Q

r

r

2

1

2

Q

r

k

1 2

Pk ( ),

r

4

u(x)

4 0

2

0 k 0

k 1

Q

2

1

2

Q

k

1 2

Pk ( ),

r

4

2

4

k 1

0r

r

r

0 k 0

r

cos cos sin sin cos( ),

| | 1

2u(r, , ) 0,

1

2

u

1

u

1

2u

r

sin

0,

r 2 sin2 2

r 2 r

r

r 2 sin

u

1

u

r2

sin

0

r

r

sin

Решение методом Фурье

u(r, ) Z (r) ( ),

d

dZ

Z

d

d

r2

sin

0

sin

dr

dr

d

d

1 d

dZ

1

d

d

r2

(r)

sin

( )

d

Z (r) dr

dr

( )sin d

1 d

d

sin

( )

( ) 0,

d

sin d

x cos ,

d

d

dx

sin

d

,

d

sin

d

,

dx d

d

d

dx

dx

d

sin

2

d

(x)

(x) 0,

dx

dx

d

x2 )

d

(x) 0

(1

(x)

- уравнение Лежандра,

dx

dx

x [ 1, 1],

k

k(k 1),

k 0, 1, 2, ... k (x) Pk (x)