Лекции УМФ (ММФ) 2008

Добавил:

Fragga Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Уравнения математической физики. Методы математической физики.

Файл:

(x)(x 1 2)

- формула удвоения аргумента

.pdf

Скачиваний:

147

Добавлен:

26.05.2014

Размер:

3.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

u12 (x, y,t) u21 (x, y,t)

2 y

sin

l 12

2 x

5 a

sin

sin 12t,

x0	0.1l	u12 u21
y0	0.1l

узловые линии

u12 (x, y,t) u21 (x, y,t)

F1	x0 0.3l, y0 0.1l	F1	x0 0.1l, y0 0.5l	F1	x0 0.5l, y0 0.1l

Одной частоте (собственному значению) соответствуют две разные моды колебаний – случай вырождения

F1	x0 0.3l, y0 0.9l	F1	x0 0.1l, y0 0.9l

(x, y,t)

sin

2 x0

sin

2 y0

sin

2 x

sin

2 y

sin

l 2 22

2 a

u22 (x, y)

k 0

Функции Бесселя

x2 y xy (x2 2 ) y 0,		const,

	- уравнение Бесселя

Решение ищется в виде степенного ряда
			Friedrich Wilhelm Bessel
y(x) a k x k , a0		0.	Friedrich Wilhelm Bessel
y(x) a k x k , a0		0.	1784 - 1846
k 0

( k)( k 1)ak x k ( k)ak x k (x2 2 ) ak x k 0,
	k 0		k 0

[ ( 1) 2 ]a x [( 1) 1 2 ]a x 1
0	1

[( k)( k 1) k 2 ]ak x k ak 2 x k 0,
k 2	k 2


( 2	2 )a0 x (( 1)2 2 )a1x 1												[(( k)2							2 )ak ak 2 ]x k 0
														k 2
		Коэффициенты при различных степенях x должны быть равны нулю:
		2 2 0										,				2	,
												1				2
		(( 1)2 2 )a 0											a 0,
		(( k)									1				1
		(( k)						2		2	)ak ak 2 0				ak						ak 2
								2		2											ak 2
																					k(2 k)
							a2k 1 0,					k 0, 1, 2,...
a2		a0		,	a4						a0			,	a6						a0	,
a2	2	2	1)	,	a4				24	2( 1)( 2)				,	a6			26 2 3( 1)( 2)( 3)				,
	2	(	1)
											( 1)k a								, k 1, 2, ...
		a2k										0
		a2k				22k k !( 1)( 2)
						22k k !( 1)( 2)							( k)

				Гамма-функция Эйлера

(x) t		x 1		t		5
(x) t		e			dt	4					(x)
	0			- интеграл Эйлера		3
(1) (2) 1						2
						2
						1								x
(	2)					0								x
						0

	1					1
						1
(x 1) x (x)						2
(x 1) x (x)						3
						3
						4
(n 1) n!			(n – целое число)			5	3	2	1	0	1	2	3	4
( k 1) ( k)( k 1) (						1)( 1)

y(x) a k x k ,

a0 0,

k 0

a2k 1

k 0, 1, ...

a2k

( 1)k a

k 1, 2, ...

22k k !( 1)( 2) ( k)

a2k

( 1)k

2 ( 1)

22k

(k 1) ( k 1)

y(x) a 2k x2k

J (x)

k 0

( 1)

(x 2)

-функция Бесселя первого рода,

J (x)

порядка

1) (k 1)

(частное решение

k 0

уравнения Бесселя)

Ряд сходится равномерно

Второе частное решение

					( 1)		k	(x 2)	2k
		J (x)			( 1)			(x 2)
		J (x)			(k 1) (k 1)
				k 0	(k 1) (k 1)

Если
Если	не целое число,
y(x) C1J (x) C2 J (x)
y(x) C1J (x) C2 J (x)				- общее решение уравнения Бесселя.

Если	- целоеn число,		J и(x)	J линейно(x)		зависимы:
			n	n
k 0, 1, ..., n 1			k n 1 0			(k n 1)

J n (x)

( 1)

(x 2)

( 1)

k n

(x 2)

2k n

(k 1) (k 1)

(k n 1) (k 1)

k n

k 0

(x) ( 1)n J

(x).

Jn (x), J n (x) не могут составлять фундаментальную систему решений

(x)

J (x) cos J (x)

-функция Бесселя второго рода,

порядка

(или функция

sin

Неймана

)

N (x)

J (x),

Y (x)

- линейно независимы и составляют фундаментальную

систему решений:

y(x) C1J (x) C2Y (x)

- общее решение уравнения Бесселя

(x)

J0 (x)

0.5

J1 (x)

(x)

0.5

Y1 (x)

(x)

0.5 0

							Функции Бесселя полуцелого порядка
							( 1)k		(x 2)2k 1							2		(k 1) (k 3 2)
J 1 (x)																	,	(k 1) (k 3 2)					2	2k 1			(2k 2)
	2				k 0 (k 1) (k 3											2)							2
	2
																		2		( 1)k x2k 1									2
			2k 1		(2k 1)!					J 1			(x)									,				J 1 (x)			x	sin x
	2											2						x k 0			(2k 1)!							2	x
												2																2
							( 1)		k	(x 2)				2k 12
J	1		(x)				( 1)			(x 2)								,
		2				k 0	(k 1) (k									12)							J 12		(x)
						k 0	(k 1) (k									12)						0.6
(k 1) (k 1 2) k (k) (k 1 2)																						0.6
(k 1) (k 1 2) k (k) (k 1 2)																								Y12			(x)
										(2k 1)												0.4		Y12			(x)
					k (2k)					(2k 1)										(2k)!
	22k 1							22k											22k			0.2
																						0.2
J 1 (x)									( 1)		k		x		2k	,														x
J 1 (x)							2		( 1)				x			,						0								x
																						0
	2					x k 0				(2k)!
						x k 0				(2k)!												0.2
	J 1			(x)			2	cos x,							Y1		(x) J 1				(x)	0.4						2	3
	J 1			(x)				cos x,							Y1		(x) J 1				(x)

				2			x										2				2
							x															0			5			10	15	20

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.

#
26.05.20143.05 Mб147Лекции УМФ (ММФ) 2008.pdf
#
26.05.2014137.22 Кб59Методы математической физики.doc