Лекции УМФ (ММФ) 2008

( 1)

k

(x 2)

2k

(k 1)

J (x)

(k 1) (k 1) (k 1)

k 0

( 1)

k

(x 2)

2k

( 1)

k

(x 2)

2k

k

( 1)

k 0

(k 1) (k

2)

k 1 (k 1) (k

2)

2( 1)

( 1)

k

(x 2)

2k 1

( 1)

k 1

(x 2)

2k 2

(k

1)

x

(k 1) (k 2)

(k 2) (k 3)

k 0

k 0

2( 1)

J

(x) J

(x)

x

1

2

J

(x)

2

J (x) J

(x)

1

x

1

Y 1

(x)

J 1 (x) cos ( 1) J 1 (x)

sin

( 1)

2

2

J (x) J 1 (x) cos ( 1)

J (x) J 1

(x)

x

x

sin

( 1)

2 J (x) cos J (x)

J 1 (x) cos ( 1) J 1 (x)

x

sin

sin ( 1)

2

Y (x) Y

(x)

x

1

2

Y

(x)

Y (x) Y

(x)

1

x

1

Производные функций Бесселя

(x) x J (x) J 1 (x),

(x) x Y (x) Y 1

J

Y

(x),

(x) x J (x) J 1

(x) x Y (x) Y 1 (x)

J

(x)

Y

x 0

2

ln

x

,

0

1

x

2

J (x)

,

Y (x)

( 1)

( ) x

2

, 0

2

x

2

3

J (x)

cos x

O(x

2 ),

x

2

4

2

3

Y (x)

sin x

O(x

2 ).

x

2

4

l

lJ ( l)J

( l) lJ ( l)J

( l)

xJ ( x)J ( x)dx

,

1

2

2

0

штрих означает производную

по всему аргументу

J (x)

i ,

j – два различных

2

4

положительных корня уравнения

5

x

1

3

J (x) 0

l

i ,

j

,

xJ

i x J

j

x

dx 0,

i j

l

l

0

l

l

l

J ( l)J ( )

i

, ,

xJ

i

x J ( x)dx

i

2 i

( i / l)

2

l

0

l

1

2

( i )

2

1

2

2

l

l J 1 ( i ).

2

J

2

( i )

J ( i ) J 1( i ) J 1( i )

J

i

l

lJ ( l)J

( l) lJ ( l)J

( l)

xJ ( x)J ( x)dx

,

1

2

2

0

штрих означает производную

по всему аргументу

J (x)

i ,

j – два различных

2

4

положительных корня уравнения

5

x

1

3

J (x) 0

l

i ,

j

,

xJ

i x J

j

x

dx 0,

i j

l

l

0

l

l

l

J ( l)J ( )

i

, ,

xJ

i

x J ( x)dx

i

2 i

( i / l)

2

l

0

l

1

2

( i )

2

1

2

2

l

l J 1 ( i ).

2

J

2

( i )

J ( i ) J 1( i ) J 1( i )

J

i

2u

a

2

2u

2u

,

u(x, y,t)

t

2

x

2

y

2

u(x, y, 0) u0 (x, y),

l

u (x, y, 0) u1 (x, y),

y

t

0,

(x, y)

u(x, y,t)

x

Радиальные колебания – функция u(r,t) не

x r cos ,

y r sin

зависит от

2u

2u

2u

1 u

1 2u

2u

1 u

x2

y2

r2

r r

r2

2

r2

r r