Лекции УМФ (ММФ) 2008

d

dZ

k

k(k 1)Zk

(r) 0,

r2

(r)

dr

dr

Z

k

(r) r

( 1)r k(k 1)r 0,

( 1) k(k 1)

1 k,

2 (k 1)

Zk (r) Ck r

k

Ck

- общее решение

rk 1

Ck

k

u(r, ) Zk (r) k ( ) Ck r

Pk (cos )

r

k 1

k 0

k 0

Qb

k

Qb

k

Ck ak

Pk (cos ) 0

Ck

4 0a2k 1

k 0

4 0ak 1

k

k

k

u(r, )

Q

b

b

r

Pk

(cos ),

r

(b, a)

4

a2k 1

0 k 0 rk 1

2U (r, ) 0,

r a

- внешняя задача Дирихле

U (a, ) u0 (a, )

Q

b

k

C

U (r, )

k

Pk (cos ),

u0 (r, )

Pk (cos ),

4 0r

k 0

rk 1

k 0

r

k

k

Ck

Qb

Qb

Pk

(cos ) 0

Ck

,

4 0ak

4

k 0

ak 1

1

0

u(r, ) 0,

r a

u

1 u

E(r, ) u(r, )

er

e

- напряженность

r

электрического поля

r

u

u

( )

(a 0, )

(a 0, )

- граничное условие, следует

r

r

0

из уравнения Максвелла

( )

divE

S

- поверхностная плотность индуцированного заряда

0

Q

b

k

( )

(2k 1)

Pk

(cos )

4 a

2

k 0

a

2

Q

b

k

2

q a

d ( )d

(2k 1)

Pk (cos )sin d

0

0

2 k 0

a

0

b

k

Q

k 0 Q

- суммарный индуцированный заряд

k 0

a

S (2k 1) k Pk (x) 2 12 (k 1 2) k 12 Pk (x)

k 0

1

1

k 0

1

1

2 2

k

2 Pk (x) 2

2

2

k Pk

(x) ,

k 0

k 0

k P (x) (1 2x 2 ) 12

- производящая функция для

k 0

k

полиномов Лежандра

(1 2x 2 ) 12

(1 2 )(1 2x 2 ) 3 2 ,

S 2 12

12

(2k 1) k Pk (x) (1 2 )(1 2x 2 ) 3 2

k 0 (0,1),

x [ 1,1]

Q

b

k

( )

(2k 1)

Pk (cos )

4 a2

k 0

a

b2

b2

3

Q

2

b

cos

2

1

1

- решение задачи

4 a2

a2

a

a2

/ 0

6

0.5

Q

4

0.4

0

0.2

4 a2

2

b / a 0

0

0

1

2

3

Pm

(x) (1 x2 )m 2

d m

P (x), m k

k

dxm

k

Если m нечетное число, присоединенная

функция Лежандра не полином

m k

Pm (x) 0

k

Pm ( x) (1 x2 )m 2 ( 1)m

d m

P ( x) ( 1)k m (1 x2 )m 2

d m

P (x)

k

dxm

k

dxm

k

Pm

( x) ( 1)k m Pm (x)

k

k

Pk (x)

1

d k

(x2 1)k

- формула Родрига

2k k ! dxk

m

(1 x2 )m 2

d k m

2

k

(x)

1)

- дифференциальная формула

Pk

(x