Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
МИРЭА - Российский технологический университет
Предмет:
Уравнения математической физики. Методы математической физики.
Файл:

Лекции УМФ (ММФ) 2008

.pdf
Скачиваний:
147
Добавлен:
26.05.2014
Размер:
3.05 Mб
Скачать
☆

Примеры

2u a2 2u g(x,t)

 

 

2u

 

 

2u

F ( ,

 

) 0,

 

 

 

 

 

 

 

2

t2

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 2,

x a 1,

t 2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

уравнение колебаний струны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гиперболического типа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

u (x,t) a2 2u(x,t),

 

 

 

u

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

k 1

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 4,

xk

a k ,

k 1, 2,3,

t 4

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

теплопроводности

 

 

 

2u(x) 0

 

 

u

0

 

 

 

 

 

параболического типа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

уравнение Лапласа

 

 

 

n 3,

xk k ,

k 1, 2,3

 

 

 

 

 

эллиптического типа

 

 

 

Классификация уравнений второго порядка

u(1,..., n ) удовлетворяет каноническому уравнению

n

 

2

u

 

 

 

u

 

u

 

 

Ck

 

F 1 ,..., n

,u,

,...,

0,

( )

 

 

2

 

 

k 1

k

 

 

1

n

 

 

 

 

Ck

1, 1, 0,

k 1,..., n

(n 4)

 

Уравнение

 

 

 

 

( )

 

 

 

 

 

 

называется уравнением

 

 

 

(a) Эллиптического типа, если все коэф-ты

Ckодинаковы (1 или –1)

(b) Гиперболического типа, если

n 1коэф-тов равны 1 и один –1.

(c) Параболического типа, если один из коэф-тов равен нулю, а

остальные равны 1.

Приведение к каноническому виду осуществляется путем замены переменных

Примеры

2u a2 2u g(x,t)

 

2u

 

2u

F ( ,

 

) 0,

 

 

2

t2

x2

 

 

2

2

1

 

 

 

 

 

 

n 2,

x a 1,

t 2

 

1

 

2

 

 

 

 

уравнение колебаний струны

 

 

 

 

гиперболического типа

u ( x,t) a2 2u( x,t),

 

t

 

 

 

 

 

 

n 4,

xk a k ,

k 1, 2,3,

2u( x) 0

 

 

u 0

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

k 1

2

 

 

 

 

k

n 3,

xk k ,

k 1, 2,3

 

u

u 0

3

2

 

 

 

 

 

k 1

2

 

 

4

 

 

k

 

 

 

t 4

уравнение

 

 

 

теплопроводности

параболического типа

уравнение Лапласа

эллиптического типа

Метод Фурье (метод разделения переменных)

Решение смешанной задачи для однородного волнового уравнения

 

n

 

 

2

 

 

 

X 3

 

x

S

 

u ( x,t) a2 2u( x,t),

x G

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

G

u( x, 0) u0 ( x),

 

 

 

 

 

u ( x, 0) u ( x),

 

 

 

 

 

t

 

1

 

X1

 

 

X 2

 

 

 

 

 

u( x,t) 0,

x S.

 

u( x,t) T (t) X ( x),

 

2

2

T (t) X ( x) a T (t) X ( x),

 

 

 

 

2

X ( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T (t)

 

 

,

 

 

 

a2T (t)

X ( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

– константа разделения

 

 

 

 

 

 

T (t) 0,

 

 

 

 

 

T (t) a

Задача Штурма – Лиувилля (Sturm – Liouville)

 

2

X ( x) X ( x) 0,

x G

 

 

( )

 

 

X ( x) 0, x S

 

 

 

 

 

Jacques Charles François Sturm

Joseph Liouville

1803 - 1855

1809-1882

Те значения ( 1, 2 , ...,)при которых решение задачи (*)

является нетривиальным, назавыются собственными значениями, а соответствующии им функции X1 ( x), X2 ( x),-...

собственными функциями.

Свойства собственных значений и собственных функций

1. Существует бесконечное число собственных значений

1, 2 , ..., k ,...

Каждому собственному значению k соответствует собственная функция Xk ( x)- решение задачи (*).

2. Собственные функции ортогональны в области G:

X k ( x) X m ( x)dx 0, k m.

G

3. Собственные значения положительны:

k 0 k 1, 2, ...

4. (Теорема Стеклова) Любая функция f ( x) C2 (G, )удовлетворяющая однородным граничным условиям может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x) fk X k ( x),

fk f ( x) X k ( x)dx 0.

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство свойства 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая формулы Грина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

(v 2u u 2v)dx

 

 

 

v( x), u( x) C2 (G)

 

u

 

 

v

n

 

dSx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

S

 

 

n

 

2

X k ( x) k X k ( x) 0,

x G

2

X m ( x) m X m ( x) 0,

x G

 

 

 

 

 

 

X k ( x) 0,

x S

 

 

 

X m ( x) 0,

x S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( X m 2 X k X k 2 X m )dx ( k m ) X k X m dx 0

G

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

X

m

 

 

u( x) X m ( x),

v( x) X k ( x),

X m

 

k X k

 

dSx

0

 

 

 

 

 

 

S

n

n

 

k m

 

X k ( x) X m ( x)dx 0

 

 

 

 

 

 

G

Собственные функции удобно нормировать так, чтобы выполнялось условие

X k ( x) X m ( x)dx km ,

 

 

1,

k m

 

 

km

k m

 

- символ Кронекера

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство свойства 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первая формулы Грина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u dSx ( v, u)dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 2udx v

 

v( x), u( x) C 2 (G

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

S

n

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

X k

( x) k X k ( x) 0,

x G

 

 

2

 

2

 

 

 

X k dx

 

 

 

X k ( x) 0,

x S

 

 

X k

k X k dx 0

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

G

u( x) v( x) X k ( x),

 

 

 

 

X k X k dSx ( X k , X k )dx k X k2dx 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

n

 

G

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X k ( x)

 

2 dx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

X k2 ( x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

Уравнение для функции

T (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

kTk (t) 0,

 

Уравнение гармонического

Tk (t) a

(k 1, 2, ...)

осциллятора

Tk (t) Ak cos k t Bk sin k t

 

 

Общее решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k a k

 

Частота колебаний

 

Решение смешанной задачи представляется в виде ряда Фурье

(суперпозиция нормальных мод)

 

 

 

 

 

 

 

 

u( x,t) Tk (t) X k ( x)

( Ak cos k t Bk sin k t) X k ( x)

 

 

k 1

 

k 1

 

 

 

Теорема

 

 

 

 

 

 

иA

находятсяB

из начальных условий.

Стеклова

 

 

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u0 ( x) Ak X k ( x)

 

Ak u0 ( x) X k ( x)dx,

 

 

k 1

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

u1 ( x) k Bk X k ( x)

 

 

Bk

u1 ( x) X k ( x)dx.

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

k G

u0 ( x) Ak X k ( x),

k 1

u0 ( x) X m ( x) Ak X k (

 

k 1

 

 

u0 ( x) X m ( x)dx Ak

G

k 1

X k ( x) X m ( x)dx km ,

x)X m ( x),

X k ( x) X m ( x)dx,

G

G

 

 

Ak km A1 1m A2 2m ... Am 1 m 1,m

k 1

 

Am mm Am 1 m 1,m ... Am ,

Am u0 ( x) X m ( x)dx

Ak u0 ( x) X k ( x)dx

G G

Соседние файлы в предмете Уравнения математической физики. Методы математической физики.
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности