Анализ временных рядов
Временной ряд – числовая последовательность наблюдений, характеризующих изменения социально-трудовых процессов во времени.
Временной ряд позволяет провести анализ изменения показателей по четырем основным компонентам: Y=T+S+C+E.
1. Первая компонента – ТРЕНД (Т) – отражает основные тенденции в развитии.
2. Второй показатель – ЦИКЛ (С) – улавливает колебания значений показателя.
3. Показатель регулярно повторяющихся колебаний в течение года (например, в уровнях безработицы по месяцам года) – СЕЗОННОСТЬ (S) – интересен для краткосрочного прогноза.
4. Показатель нерегулярных событий – ОТКЛОНЕНИЕ (Е) - описывает различные отклонения от нормальной ситуации.
Анализ временных рядов включает методы разложения первоначальных временных показателей, например уровня доходов населения (Д), на компоненты T, C, S и E. Согласно одной модели эти компоненты находятся между собой в линейной зависимости (Д=Т+С+S+Е), согласно другой – они влияют друг на друга мультипликативно (Д=Т*С*S*E). Мультипликативная модель наилучшим образом показывает влияние циклического и сезонного характера на показатели социально-трудовой сферы.
Следует учитывать, однако, что все компоненты подвержены изменениям. Поэтому чисто механическая экстраполяция прошлых тенденций на будущее может не подтвердиться. Для того, чтобы избежать подобных негативных последствий, следует к математической интерпретации дополнительно привлекать логические построения.
Влияние нерегулярных событий можно учесть путем разработки трех вариантов прогнозов – оптимистического, пессимистического и наиболее вероятного. Разница между минимальным и максимальным значениями покажет реальность наиболее вероятного прогноза.
Математический аппарат обработки временных рядов
Временной ряд характеризуется определенной стохастичностью. Выявление его закономерностей возможно с помощью сглаживания. Сглаживание временного ряда - это представление тренда в данной точке посредством взвешенного среднего значения, наблюдаемого в окрестности этой точки. Наблюдаемые значения ряда равны сумме тренда и случайной ошибки. Грубо говоря, взвешенное среднее значение тренда совпадает со значением самого тренда в данной точке, а взвешенная средняя случайной составляющей имеет тенденцию становиться весьма малой величиной. Следовательно, взвешенная средняя будет оценивать тренд. Существует ряд методов сглаживания, которые предназначены для выявления закономерностей изменения процесса во времени (табл. 4.10).
Таблица 4.10
Методы сглаживания временных рядов
Метод |
Особенности метода |
Метод наименьших квадратов |
Отражает закономерности развития явления. Развитие явления во времени выступает как результат действия факторов. Построение уравнения на основе анализа экспериментальных данных |
Скользящая средняя для линейной тенденции, взвешенная скользящая средняя – для нелинейной тенденции |
Достоинства - наглядность при определении вида тренда, простота в истолковании скользящей средней. Недостатки – при малом числе наблюдений метод часто приводит к искажению тенденций, сложен выбор величины интервала сглаживания |
Продолжение таблицы 4.10
Метод |
Особенности метода |
Сглаживание с помощью полинома Лагранжа |
Для рядов, уровни которых не имеют резких, регулярных колебаний. Недостатки – большое число вычислений. Если значения независимой переменной взяты далеко друг от друга, результат может быть весьма неточен. |
Метод конечных разностей |
Так как (p+1)-я производная полинома p-й степени равна 0 в любой точке, то разности p-го порядка полинома – постоянны. Таким образом, взяв p-ю разность, мы тем самым исключили тренд, выраженный полиномом p-й степени. |
Метод экспоненционального сглаживания |
Временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциональному закону. |
Наиболее простым методом прогнозирования является экстраполяция значений наблюдаемого процесса. Экстраполяция – это выявление основной закономерности развития явления, в отношении которой можно выдвинуть гипотезу, что она некоторое время сохранится в будущем.
Суть метода состоит в следующем: на основе анализа статистических данных, характеризующих объект прогнозирования за предшествующий период, устанавливают закономерности изменения и соответственно тенденции развития этих данных. Затем определяют значения прогнозируемых данных за пределами имеющихся эмпирических рядов.
Метод экстраполяции применяется тогда, когда более или менее точно установлена зависимость во временных рядах, а также определена область, на которую распространяется экстраполяция. Всякий исследуемый динамический ряд является лишь одним из возможных отрезков некоторого соответствующего ему бесконечного динамического ряда. Следовательно, нужно оценить параметры, полученные в результате анализа эмпирического динамического ряда. Известны два вида оценок:
установление значимости выборочных показателей (средней, дисперсии, коэффициента регрессии и т.д.);
определение доверительных интервалов для ожидаемых значений соответствующих показателей генеральной совокупности.
После предварительного анализа переходим непосредственно к процессу экстраполяции. Зная форму кривой и значения ее параметров, определим значения аргумента (времени), лежащие за пределами эмпирических данных, т.е. в будущем периоде, и вычислим соответствующие значения функции, принимаемые за прогнозируемую величину в конкретные моменты времени.
Подбор вида функции, описывающей тренд:
1. Если значения t образуют арифметическую прогрессию, а соответствующие значения у - геометрическую прогрессию, то уравнение тренда выражается показательной функцией:
.
2. Если связь между логарифмами у и t линейная, то описание тренда целесообразно производить по степенной модели:
.
По этому уравнению можно выбрать вид тренда, если соответствующие значения будут располагаться в порядке геометрической прогрессии.
3. Если значения t расположены в порядке арифметической прогрессии, а первые разности соответствующих значений y постоянны, то тренд может быть описан прямой:
,
.
4. Если значения t расположены в порядке геометрической прогрессии, р-е разности соответствующих значений у(t) постоянны, то в качестве функции, описывающей тренд, можно принять полином р-й степени:
.
Данный метод прогнозирования дает очень хорошие результаты, если правильно определена форма кривой, отражающая установленную закономерность изменения эмпирических данных.
При изучении временных рядов возникает задача описания и анализа явления за определенный период времени, в течение которого оно эволюционирует, меняется, воздействует как основная причина или как одна из множества причин на другие явления. Для того, чтобы выявить общую тенденцию изменения экономических явлений в течение изучаемого периода времени, следует провести сглаживание временного ряда. Необходимость сглаживания временных рядов обусловлена тем, что помимо влияния на уровни ряда главных факторов, которые в конечном счете и формируют конкретный вид неслучайной компоненты, на них действует большое количество случайных факторов, которые вызывают отклонение фактических уровней от тренда. Общую тенденцию стремятся представить в виде более или менее гладкой траектории. Тренд характеризует основную закономерность движения во времени и в некоторой степени свободен от случайных воздействий. Тренд описывает фактическую усредненную для периода наблюдения тенденцию изучаемого процесса во времени, его внешние проявления.
Целью анализа временных рядов экономических явлений за определенный интервал времени является выделение тенденций их изменения за рассматриваемый период, которая покажет общую картину развития изучаемого явления. Для выделения тенденции используются специальные методы:
1) по среднему темпу роста;
2) скользящей средней;
3) по взвешанной скользящей средней;
4) по среднему приросту;
5) по экспоненциальной средней.
Математический аппарат указанных методов выделения тенденций приведен в приложении.