Тема 4.5. Теория массового обслуживания и ее применение в экономике труда Понятие системы массового обслуживания и основные ее компоненты

Системы массового обслуживания (СМО) - это системы, целью которых является обслуживание требований, поступающих в случайные моменты времени и встречающих ограниченные средства их удовлетворения, причем длительность обслуживания, в общем случае, также случайна.

Примерами СМО являются процессы обслуживания клиентов на телефонной станции, в билетной кассе, ремонтной мастерской, магазине и т.д. Примеры СМО на предприятиях: ремонт и наладка станков, деятельность любых руководителей, любые процессы обслуживания оборудования и рабочих мест.

При всем разнообразии все эти процессы имеют общие черты: требования по обслуживанию нерегулярно поступают на канал обслуживания и, в зависимости от его занятости и времени обслуживания, образуется очередь.

Структура системы массового обслуживания:

1. Источники требований (откуда поступают заявки на обслуживание) N.

2. Каналы обслуживания (персонал или средства, которые обслуживают поступающие требования) m.

3. Очередь K.

Механизм работы системы массового обслуживания:

В систему массового обслуживания в случайные моменты времени (U) поступают заявки на обслуживание. Обслуживание каждой заявки длится какое-то случайное время (T), после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки.

Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе в систему скапливается излишне большое количество заявок, которые либо становятся в очередь, либо покидают систему. А в другие периоды времени система массового обслуживания будет работать с недогрузкой либо простаивать.

Основная проблема заключается в уравновешивании расходов на содержание дополнительных каналов обслуживания и потерь от простоев источников требований в ожидании обслуживания или ухода их из системы из-за недостаточного количества каналов обслуживания.

Такая проблема возникает из-за случайности возникновения заявок на обслуживание и случайного времени их обслуживания, т.к. невозможно построить четкий график и установить контроль за процессом обслуживания.

Предмет теории массового обслуживания – это построение математических моделей, связывающих заданные условия СМО (число каналов обслуживания, источников требований, характеристики потоков заявок и времени обслуживания) с результирующими показателями работы системы массового обслуживания, с целью выбора необходимого количества каналов обслуживания и организации работы системы.

В качестве результирующих показателей могут быть:

- среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания;

- среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

- среднее число занятых каналов и средняя занятость каждого из каналов;

- вероятность того, что число заявок в очереди превысит заданное значение;

- абсолютная и относительная пропускная способность системы.

Классификация систем массового обслуживания

Системы массового обслуживания можно классифицировать по различным признакам:

I. Будет ли организована очередь:

1.1. СМО с отказом. В такой системе, если заявка поступит в момент, когда все каналы заняты и она получает немедленный отказ в обслуживании, то заявка не становится в очередь, а покидает систему.

1.2. СМО с очередью.

1.3. Смешанные системы (одни заявки покидают систему, другие становятся в очередь).

II. Ограничено ли число источников требований.

2.1. Открытая СМО (система с неограниченным числом источников требований).

2.2. Замкнутая система (с ограниченным количеством источников требований).

III. Степень однородности каналов обслуживания.

3.1. Однофазная СМО, в которой требования обслуживаются каналами одного типа без передачи их от одного канала к другому.

3.2. Многофазная СМО, в которой возможны передачи от каналов одного типа в каналы других типов (оператор-наладчик-ремонтник-мастер).

Системы с очередью делят на различные типы, в зависимости от организации очереди и дисциплины обслуживания очереди. Очередь может быть ограничена по длине (количеству мест для ожидания в очереди) либо по времени ожидания.

Дисциплина обслуживания - это порядок поступления заявок из очереди на каналы обслуживания.

Дисциплина обслуживания может быть:

1. В порядке очередности поступления заявок (первый пришел - первый обслужен).

2. В обратном порядке (последний пришел – первый обслужен).

3. В случайном порядке.

4. В соответствии с установленными приоритетами.

Приоритет может быть абсолютным, когда заявка с более высоким приоритетом вытесняет во время обслуживания заявку с более низким приоритетом.

Относительный приоритет – когда начатое обслуживание доводится до конца, а заявка с более высоким приоритетом имеет право на лучшее место в очереди.

По доступности обслуживания различают полнодоступные и неполнодоступные системы.

Системы, где свободные каналы не всегда могут начать обслуживание заявки, называются неполнодоступными.

Формализованное описание экономических систем как систем массового обслуживания и методы их исследования.

Для описания любой системы массового обслуживания необходимо установить:

1) общее число источников требований (N) и взаимосвязи между ними,

2) количество каналов обслуживания (m);

3) входящий поток требований (A);

4) поток обслуживания (B);

5) количество мест ожидания (K),

6) дисциплину и доступность обслуживания;

7) для многофазных систем – матрицу передач между фазами.

Таким образом, любую систему массового обслуживания можно формально описать следующим образом:

A/B/m/K/N,

где A-входной поток требований,

B-поток обслуживания,

N-общее число источников требований,

m-количество каналов обслуживания,

K-количество мест ожидания.

Входящий поток требований – это последовательность требований, поступающих в систему для обслуживания (совокупность периодичностей обслуживания).

В очень редких случаях требования поступают через одинаковые промежутки времени и такие потоки называют регулярными.

Однако, в большинстве случаев поток требований носит случайный характер и описывается математическим ожиданием ( ), характеристиками рассеяния (V), видом закона распределения интервалов между моментами поступления требований на обслуживание.

Вместо значения средней периодичности поступления заявок ( ) часто используют обратную величину, которая называется интенсивностью потока требований.

,

где  - интенсивность потока требований,

– средняя периодичность поступления заявок на обслуживание.

Поток обслуживания – это совокупность длительностей обслуживания; для его характеристики необходимо также указать математическое ожидание ( ) и степень рассеивания (V) и закон распределения интервалов длительности обслуживания.

Вместо средней длительности обслуживания – обратную величину, которая называется средней интенсивностью потока обслуживания ( ).

Для практических расчетов наиболее важными являются два вида потоков требований:

1. Простейший, который создается большим числом источников требований и характеризуется следующими свойствами:

- ординарностью,

- стационарностью,

- отсутствием последействия.

Ординарность – невозможность одновременного поступления двух или более требований в бесконечно малый промежуток времени.

Стационарность - предполагает, что средняя интенсивность потока не изменяется с течением времени.

Отсутствие последействия - вероятность поступления требований в определенный промежуток не зависит от предшествующего течения процесса.

2. С простым последействием – поток формируется конечным числом источников требований и интервалы времени между поступлениями соседних требований распределяются по экспоненциальному закону (пример, ремонт и обслуживание оборудования)

Для многофазных систем необходимо определить маршруты требований между фазами, что задается в виде матрицы, содержащей вероятности перехода требований между фазами.

Матрица передач для многофазной системы

	1	2	…	n
1	1	P12	…	P1n
2	P21	1	…	P2n
…	…	…	…	…
n	Pn1	Pn2	…	P1

где Pij – характеризует вероятность перехода требования от i-фазы к j-фазе.

n – количество фаз обслуживания

Описав входные параметры системы массового обслуживания, необходимо определить показатели, характеризующие результаты ее работы (рис. 4.6, 4.7).

Рис. 4.6. Схема моделирования в теории массового обслуживания

Для расчета указанных результирующих характеристик СМО разработаны аналитические зависимости: для каждого типа системы свои зависимости. Вместе с тем теория массового обслуживания – относительно молодая наука, аналитические зависимости в которой разработаны лишь для очень ограниченного числа систем массового обслуживания. Это, в основном, системы с экспоненциальным распределением длительности обслуживания и интервалов между моментами требований.

В остальных случаях для расчета результирующих характеристик рекомендуется использовать имитационное моделирование на ПЭВМ.

Рис. 4.7. Схема применения теории массового обслуживания для оптимизации хозяйственных систем