6. Дифференциальные уравнения

Система SWP позволяет решать дифференциальные уравнения различных типов, в том числе с частными производными.

Для решения обыкновенного дифференциального уравнения необходимо записать его в обычной форме, оставить курсор в этой же строке и выбрать пункт меню Compute/Solve ODE. После этого появится подменю, содержащее четыре пункта: Exact, Laplas, Numeric, Series. Первые два пункта меню позволяют получать общие решения дифференциальных уравнений. Отличие состоит в том, что при выборе первого пункта уравнение будет решаться достаточно общим методом, а при выборе второго пункта – с помощью преобразования Лапласа. Пункт Laplas следует выбирать при решении линейных уравнений, как однородных, так и неоднородных, с постоянными коэффициентами. Например, если требуется решить уравнение (неоднородное линейное уравнение второго порядка) надо набрать его, выбрать пункт менюCompute/Solve ODE/ Laplas. После этого появится окошко с надписью Independent variable is: , следует ввести независимую переменную – x. После этого появится ответ: Laplace solution is :. Это же самое уравнение можно решить и выбрав первый пункт меню – Exact. Разница будет в том, что в ответе не будут присутствовать в явном виде начальные условия, а просто постоянные интегрирования. Решение будет выглядеть так: Exact solution is:. С помощью этого пункта можно решать не только линейные дифференциальные уравнения, но и уравнения других типов: с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения Бернулли.

Пункт меню Series позволяет решать дифференциальные уравнения с помощью разложения функций в ряд Тейлора. Например, для уравнения будет получен ответSeries solution is: Здесь gamma это эйлеровская постоянная: .

Дифференциальные уравнения можно решать численно с помощью команды Numeric. Для этого нужно ввести уравнение и начальные условия в виде матрицы и выбрать команду Compute/Solve ODE/ Numeric. После этого появится сообщение о том, что функция определена. Теперь можно вычислять значения функции в любых точках, где эта функция определена. Кроме того, можно получить таблицу значений функции, т.е. протабулировать ее. Для этого необходимо ввести значения аргумента в матрицу (можно определить новую функцию для автоматического заполнения значений аргумента), перед матрицей поместить имя функции, и выбрать пункт Compute/Еvaluate. После этого появится новая матрица, содержащая значения функции. Например, при решении уравнения необходимо выбрать в менюInsert (или на панели инструментов) пункт Matrix, определить число строк rows – 2, число столбцов columns – 1. Ввести в первую строку само уравнение, а во вторую начальное условие, получится матрица . Оставляя курсор в этой же строке, выбираем пунктCompute/Solve ODE/ Numeric, появится сообщение Functions defined: y. Вычисляя значения функции, получаем ,Задавая значения аргумента от 0 до 10, получаем таблицу:

. Кроме табличного представления для определяемой функции можно построить график, набрав в строке имя функции и выбрав пункт Compute/Plot 2D/Rectangular. Надо иметь в виду, что вычисления значений функции и построение графика может быть очень медленным, если задана большая точность чисел (например, 15 знаков).

В справочной системе SWP 5.0 указано, что можно решать и системы дифференциальных уравнений, задавая их в виде строк матрицы. Однако, приведенные там примеры на самом деле содержат не системы дифференциальных уравнений, а просто задачу Коши – одно дифференциальное уравнение с некоторыми начальными условиями. Решать же настоящие системы дифференциальных уравнений, даже самые простые, SWP 5.0 не может.