2. Пределы

Для вычисления предела (а  число или бесконечность) необходимо

1. Набрать в математическом режиме или вызвать из функционального меню символ lim.

2. Активизировать нижний индекс и вписать в него хa.

3. После пробела набрать функцию.

4. Выполнить одну из вычислительных команд.

Если предела не существует, то вместо ответа выдается сообщение «undefined» (не определен). Система позволяет вычислять односторонние пределы. Например, .

Недостатком является невозможность вычисления двойных пределов функций нескольких переменных , можно вычислять только пределы повторные. Из курса математического анализа известно, что если существует двойной предел, то существуют и равны и повторные пределы, но обратное неверно.

3. Дифференцирование

Для вычисления производных функций одной переменной или частных производных функций нескольких переменных используются стандартные обозначения

(n=p+q). Пример: после ввода выражения и применения командыEvaluate получим ответ x^y-1 (ln x) y+x^y-1. Стандартное обозначение f  дает правильный ответ только если применяется к символу f, которому ранее присвоено значение функции (см. п. 1.1.3). Можно применить операцию дифференцирования к функции, которая задана разными выражениями на разных множествах. Например, пусть определена функция .

При вычислении производной получим ответ

.

Система позволяет дифференцировать неявно заданные функции. Пусть надо найти первую и вторую производные функции у(х), заданной неявно уравнением xy+sin x=y. Для этого следует

1. В математическом режиме ввести уравнение.

2. Исполнить команду Compute/Calculus/Implicit Differentiation (неявное дифференцирование).

3. В диалоговое окно ввести аргумент х и нажать кнопку OK.

После этого появится равенство y+xy+cos x=y.

4. Выбрать команду Compute/Solve/Exact.

5. В появившееся диалоговое окно ввести у и нажать кнопку OK.

Появится равенство

6. Для вычисления второй производной необходимо вновь выбрать команду Compute/Calculus/Implicit Differentiation и ввести х в диалоговое окно.

Появится равенство .

6. Стандартными средствами текстового редактора (выделить – скопировать – вставить) заменить в последнем выражении у’ на соответствующее выражение.

7. Поместив курсор в полученное выражение, исполнить команду Compute/Factor или Compute/Simplify.

В результате получаем относительно простое выражение для второй производной.

Дифференцирование неявных функций нескольких переменных не поддерживается.

4. Интегрирование

Для вычисления неопределенного интеграла необходимо ввести выражение вида и применить операциюEvaluate. При этом фактически вычисляется не неопределенный интеграл (множество всех первообразных), а одна из первообразных. Например, . При необходимости использования неопределенного интеграла следует добавить произвольную постоянную как слагаемое. В качестве подынтегральной может использоваться функция, определенная пользователем (см. п. 1.1.3). В некоторых случаях ответ получается в виде специальных функций. Например,. Если интеграл не берется предусмотренными системой алгоритмами, то в качестве ответа выдается тот же интеграл. Например,. Следует отметить, что, к сожалению, система не в состоянии вычислить многие интегралы, которые вполне вычислимы традиционно. Например, не удается получить ответа при вычислении дифференциальных биномов, в случае, когда они представимы в виде элементарных функций.

Определенные интегралы вычисляются аналогично, вводятся они в общепринятой форме (с пределами интегрирования), можно использовать любую из вычислительных команд. В некоторых случаях можно вычислять и несобственные интегралы. Так, расходится (undefined), в то же время, применение командыEvaluate в случаях идает ответы (команда Evaluate Numerically ответа в этом случае не дает). При вычислении командыEvaluate и Evaluate Numerically не дали ответа, хотя интеграл сходится. В то же время хотя команда Evaluate при вычислениине привела к решению, командаEvaluate Numerically в предыдущей версии дала ответ 1.5, в новой ответа также не получено. Так что новое не всегда лучше! Обе команды не позволили вычислить .Как можно убедиться, этот несобственный интеграл (уравнение имеет решение) расходится.

Вычисление кратных интегралов в SWP не предусмотрено. Кратный интеграл предварительно надо приводить к повторному. Например, при приведении к видувычисляется любой из вычислительной команд. Разумеется, попытка вычисления интеграладаст ответ в виде многочлена отх – не следует систему запутывать!

5. РЯДЫ

Система позволяет находить суммы числовых рядов или устанавливать их расходимость. Ряды вводятся в обычном виде . Примеры.

- такой ответ получается при исполнении как команды Evaluate, так и Evaluate Numerically.

(Evaluate), =.69315 (Evaluate Numerically),

(Evaluate), =1.645 (Evaluate Numerically).

Иногда использование команды Evaluate дает выражение суммы ряда через специальные функции. Например, . Здесь справа значение знаменитой дзета-функции Римана, исследование которой до нашего времени находится в центре внимания многих математиков. С вычислительной точки зрения ответ не имеет смысла. Применение командыEvaluate Numerically привело к ответу 1.2021. В некоторых случаях, когда ряд расходится, (например, ), командаEvaluate воспроизвела исходное выражение, а Evaluate Numerically дала результат «undecidablе». Обе команды не дали никакой реакции при попытке анализа ряда . Для некоторых сходящихся рядов, например,, командаEvaluate воспроизвела исходное выражение, а Evaluate Numerically не дала никакой реакции.

В ряде случаев удается найти сумму функционального ряда. Так, применение команд Evaluate и Evaluate Numerically к ряду дает результатыисоответственно.

Частичную сумму ряда Тейлора аналитической функции f(x) можно получить с помощью команды Compute/Power Series (степенные ряды). В появившемся диалоговом окне необходимо выбрать число слагаемых (высшую степень слагаемых) и выражение, по которому должно производиться разложение. Например, разложение функции sin(2x1) по степеням х+1 при трех слагаемых имеет вид (sin3)+(2cos3)(х+1)+ (2sin3)(х+1)²+O((х+1)³).