2. Матрицы и системы линейных уравнений

Матрицы формируются при активизации соответствующей кнопки панели Math Objects. В открывшееся окно необходимо ввести размеры матрицы и нажать кнопку OK. Затем в полученные окна необходимо ввести нужные числа или выражения. Матрицу можно заключить в круглые или квадратные скобки, для этого после выделения матрицы стандартными средствами нужно нажать на соответствующую кнопку панели Math. Если нужно выделить элемент, расположенный в I строке и J столбце, то после закрывающей скобки в позиции нижнего индекса следует набрать выражение I,J и использовать команду Evaluate.

Элементы матрицы на экране могут разделяться или не разделяться линиями в зависимости от положения переключателя View/Helper Lines (вспомогательные линии).

Некоторые стандартные матрицы можно получать автоматически с помощью команды Compute/Matrices/Fill Matrix (заполненная матрица). В диалоговом окне необходимо ввести размеры матрицы и выбрать ее вид. Среди них нулевая, единичная (если выбраны различные числа строк и столбцов, то единицами заполняется отрезок главной диагонали), матрица, заполненная случайными целыми числами, некоторые другие виды матриц. Если необходима матрица, все элементы которой равны, например, 5, то необходимо выполнить следующие действия.

1. Исполнить команду Compute/Matrices/Fill Matrix.

2. Установить размеры матрицы и выбрать позицию Define by function.

3. В появившемся окне написать число 5.

4. Нажать кнопку OK.

Введенные матрицы можно модифицировать. Стирать строки или столбцы можно стандартными средствами: выделив эти объекты, нажать на клавиатуре клавишу Delete. Для добавления строк или столбцов используется команда Edit/Insert Rows (добавить строки) или Insert Columns (добавить столбцы). Затем в диалоге выбирается позиция, в которую соответствующий ряд должен быть добавлен. Есть и средства замены элементов в прямоугольной подматрице, мы их здесь не описываем.

В матрицу можно преобразовать список тех или иных элементов, набранных в математическом режиме и разделенных запятыми. Опишем соответствующие действия.

1. Поместить курсор в список.

2. Выполнить команду Compute/Matrices/Reshape (переформировать).

3. В появившемся окне введите число столбцов матрицы.

4. Нажмите кнопку OK.

Список вносится в матрицу построчно, последняя строка обязательно непустая, но может оказаться не заполненной полностью. Например, применяя эту команду к списку 3,4,a+b,6,2a,90,gg при задании двух столбцов, получим матрицу

Применение той же операции к матрице вместо списка приводит к переносу тех же элементов в матрицу других размеров.

Определитель квадратной матрицы можно вычислять по-разному, причем элементы матрицы не обязаны быть числами.

Первый способ заключается в использовании функции det, которую можно вызвать из функционального меню панели Math Objects либо просто набрать в математическом режиме. Например, det=2b3a. Матрица должна быть заключена в круглые или квадратные скобки. Второй способ заключается в использовании команды Compute/Matrices/Determinant.

Транспонирование матрицы осуществляется либо командой Compute/Matrices/Transpose либо применением кнопки Evaluate к матрице, к которой добавлен верхний индекс Т.

Арифметические операции над матрицами осуществляются естественным образом с применением вычислительных команд Evaluate и Evaluate Numerically. Если задана некорректная операция (например, предлагается сложить матрицы разных размеров), то операция не производится, при этом информация об ошибке не выводится. В натуральную степень квадратная матрица возводится стандартно.

Для вычисления обратной матрице необходимо возвести матрицу в степень .

Многочлен от матрицы проще вычислять, предварительно зафиксировав обозначение матрицы. Например, если нужно вычислить многочлен 5х³ 3х² +2х4 от матрицы , то следует сделать следующее.

1. Записать выражение .

2. Оставив курсор в пределах этого выражения, выполнить команду Compute/Definition/New Definition или использовать кнопку New Definition панели Compute.

3. В следующей строке набрать многочлен 5х³ 3х² +2х4

4. Исполнить какую-нибудь вычислительную команду.

Результат: .

После этого определение х следует удалить, иначе этот символ будет восприниматься в описанном смысле.

SWP позволяет вычислять многие полезные функции матриц. Команда Compute/Matrices/Characteristic Polynomial вычисляет характеристический многочлен квадратной матрицы. Команда Compute/Matrices/Eigenvalues позволяет находить собственные значения, а команда Compute/Matrices/Eigenvectors – собственные векторы.

Пакет позволяет решать системы линейных уравнений, как в случае единственного решения, так и в неопределенном случае. Для этого систему надо записать в матричной форме

, затем применить команду Compute/Solve/Exact (решить/точно). Приведем примеры.

Случай определенной системы

. После применения команды Compute/Solve/Exact получим решение .

Для неопределенной системы применение командыCompute/Solve/Exact приведет к решению . Система имеет множество решений, каждое из которых определяется значением параметраt₁. Например, при t₁=0 получаем решение , приt₁=1 – решение .

Для несовместной системы получим сообщение «No solution found» (решение не найдено).

Ранг матрицы находится командой Compute/Matrices/Rank.

Пример: . Вызвав указанную команду, получаем ответrank:2.

Командами Compute/Matrices/Row Basis и Compute/Matrices/Column Basis определяются базисы линейных пространств, порожденных соответственно строками и столбцами матрицы.

Пример: применяя команду Compute/Matrices/Row Basis к матрице , получим; применяя командуCompute/Matrices/Column Basis к той же матрице, получим .

Можно производить и другие действия над матрицами, например, находить жорданову нормальную форму матрицы, но здесь мы это опускаем.