1.Функции комплексного переменного.

2.Основные элементарные функции комплексного переменного.

3. Аналитическая функция.

4. Производная ф-ии комплексного переменного.

5. Дифференцируемость функции. Условие Коши-Римана.

6. Связь м/д аналитическими и гармоническими функциями.

7. Интегрирование функции комплексного переменного.

8. Интегральная теорема Коши.

9. Формула Ньютона-Лейбница.

10. Ряды Лорена.

11.Основная теорема о вычетах.

12. Вычисление вычетов функции. Применение вычетов к вычислению интеграла.

13. Нахождение изображения ф-ии.

14. Таблица изображений основных элементарных ф-ий.

15. Отыскание оригинала по изображению.

16. Свертка ф-ии.

17. Изображения производных и интеграла от оригинала.

18. Теорема о дифф. изобраения.

19. Теорема о дифф. оригинала.

20. Теорема об интегрировании интеграла.

21. Теорема об интегрировании изображения.

22. Применение операционного исчисления.

23. Решение задачи Коши для линейных и дифф. у-ний.

24. Решение с/с дифф. у-ний с применение операционного исчесления.

25. Решение интегральных ур-ний.

1.Функции комплексного переменного.

Если каждому числу zЄDпо некоторому правилу поставлено в соответствие некоторое число ωЄЕ то говорят что на множестве определена однозначная ф-ия комплексного переменного ω=f(z) отображающая множествоDв множество Е.Ф-ию ω=f(z) можно зап в видеu+iυ=f(x+iy),f(x+iy)=u(x;y)+iυ(x;y),u=u(x;y)=Ref(z),υ=υ(x;y)=Imf(z), (x;y) ЄDФ-июu(x;y) при этом называют действительной частью ф-ииf(z) аυ(x;y)-мнимой.

2.Основные элементарные функции комплексного переменного.

Определим основные элементарные ф-ии комплексного переменного z=x+iy.Показательная ф-ияω=е^zопределяется ф-лой ω=е^z=е^x(cosy+isiny)cв-ва пок ф-ии: е^z1е^z2= е^z1+z2

е^z1е^z2= е^x1е^x2(cos(y1+y2)+isin(y1+y2))= е^x1+x2(cos(y1+y2)+isin(y1+y2))=е^{x1+x2+i(y1+y2)}=е^z1+z2.Логарифмическая ф-ия:ω=Lnz=u+iυ=lnr+i(φ+2kп)=ln|z|+i(argz+2kп);lnz=ln|z|+iargz.Степенная ф-ия:ω=zⁿ ω=zⁿ rⁿ (cosnφ+isinnφ) ф-ия ω=zⁿ-однозначная.Тригонометрическая ф-ия:триг ф-ия комплексного аргументаz=x+iyопределяются равенствамиsinz=e^iz-e^-iz/2i,cosz=e^iz+e^-iz/2,tgz=sinz/cosz,ctgz=cosz/sinz.Гиперболические ф-ии.Эти ф-ии определяются рав-миshz=e^z-e^-z/2,chz=e^z+e^-z/2,thz=shz/chz,cthz=chz/shz.

3. Аналитическая функция.

Функция f(z) называется аналитической в точкеz, если она дифф-ма в некоторой окресности этой точки. Функцияf(z) называется аналитической в областиD, если она дифф-ма в каждой точке zD. Точки в плоскостиz, функцияf(z)аналитична, называютсяправильными, а если не аналитична, то точки будутособыми. Пусть ф-я=f(z) аналитична в т.z.lim_∆z0 ∆/∆z=f ‘(z) ∆/∆z=f ‘(z)+, где0 при∆z0.=f(z).

4. Производная ф-ии комплексного переменного.

Пусть =f(z) определена в некоторой окресности в т. z. Тогда lim_∆z0∆/∆z= lim_∆z0 f(z+∆z)-f(z)/ ∆z= f ‘(z). Если он существует, называется производной функцииf(z) в точкеz,а ф-ия называется дифф-мой.

5. Дифференцируемость функции. Условие Коши-Римана.

=f(z) D-область.Определение:Если существует конечный предел отношения, ∆z→0, то этот предел называется производной функциейf ‘(х)в т.z₀. f ‘(х)=lim_∆z→0∆/z=lim_∆z→0f(z+∆z)-f(z)/∆z. Отсюда=f(z) называется дифф. в т.z=z₀.Теорема: Для того чтобы функцияf(z)= U(x,y)+iV(x,y) была дифф. в тz₀=x₀+iy₀ необходимо: 1)U(x,y),V(x,y) были дифф. в т. (x₀,y₀); 2) чтобы в этой т. выполнялось ∂u/∂x=∂v/∂y; ∂u/∂y=-∂v/∂x- это условие Коши-Римана. Определение1: Функция называется аналитической в областе, если она дифф-ма в каждой т. этой области. Определение2: Функция называется аналитической в точке z₀,если функция дифф. не только в данной т., но и в ее окрестности.