13. Нахождение изображения ф-ии.

Определение: ф-ия f(t) св-ва: 1) f(t)=0, t<0; 2) f(t)< Me^sot t>0; 3)на конечном[AB] в полуосиot ф-ииf(t) удовлетворяет условие Дирихле:a) f(t) ограниченна либо непрерывна. б) имеет некоторое число точек разрыва. в)имеет конечное число экстремумов.P=+i, гдеrep= s₁s₂>s₀. При. ₀^ e^-pt f(t)dt является от₀^ e^-pt f(t)dt=f(p)- это интеграл Лапласа, а аргумент р определяемый им называется преобразованием Лапласа.f(p)>f(t). f(t₀)=f(t₀-0)+f(t₀+0)/2. t₀0; t₀=0; f(0)=1. При соблюдение этих условий м/д оригиналом и изображением облад. следующие св-ва: 1) Соответствие взаимодействия однозначна. 2)Линейной комбинацией конечного множества оригиналов в качестве изображения отвечает соответствующая линейная комбинация их изображения.

14. Таблица изображений основных элементарных ф-ий.

 f(z)=1 f^‾(p)=1/p  f(z)=tⁿ/n! f^‾(p)=1/pⁿ⁺¹

 f(z)=e^t f^‾(p)=1/p-  f(z)=cost f^‾(p)=p/p²+²

 f(z)=sint f^‾(p)=/p²+²  f(z)=e^tcost f^‾(p)=p-/(p-)²+²

 f(z)=e^tsint f^‾(p)=/(p-)²+²  f(z)= tⁿ/n!e^t f^‾(p)=1/(p-)ⁿ⁺¹

 f(z)=tcost f^‾(p)=p²-²/(p²+²)²  f(z)=tsint f^‾(p)=2p/(p²+²)²

 f(z)=cht f^‾(p)=p/p²-1  f(z)=sht f^‾(p)=1/p²+1

15. Отыскание оригинала по изображению.

I(p)= U(p)/V(p); U(p),V(p)- где многочлены. Эта формула для нахождения оригинала для дробно-рациональной ф-ии. Если изображение искомой функции может быть разложена в степенной ряд по степеням 1/р:I(p)=a₀/p+a₁/p²+a₂/p³+…+a_n/pⁿ⁺¹-Ряд сходится. R=lim_na_n+1/a_n  f(t)=a₀+a₁t/1!+a₂t²/2!+a₃t³/3!+…+a_ntⁿ/n!-ряд сходится для всех значенийt

16. Свертка ф-ии.

Свертка двух путей f1(t), f2(t) называется ф-яF(t)=₀^t f₁(t-) f₂()d. Интеграл определяющий свертку не меняет своего значения от перестановки функцииf1 иf2, свертка двух путей симметрична относительно свертываемость функции изображение свертки двух оригиналов и изображений = произведению их изображений. Теорема свертываемости:f^‾₁(p)f1(t), f^‾₂(p)f2(t),то₀^t f₁(t-) f₂()d<f^‾₁(p) f^‾₂(p); F(t)< f^‾₁(p) f^‾₂(p).

17. Изображения производных и интеграла от оригинала.

Пусть оригиналом от F(t) дифф.n-раз доn-го порядка в свою очередь явл. оригиналами, тогда справедлива теорема дифф. оригинала. Еслиf^‾(p)>f(t); f^(k)(p)>p^kf(p)- {p^k-1 f(p)+p^k-2 f ’(p)+…+p^k-n f^n-1(p)}. f(t)< f^‾(p); f ’(t)<p f^‾(p)-f(0); f(t)< p²f^‾(p)-pf(0)-f ‘(0); f(t)<p³f^‾(p)-p²f(0)-pf ‘(0)-f ‘‘(0); f^Ⅳ(t)< f(t)<p⁴f^‾(p)-p3f(0)-p²f ‘(0)-pf ‘‘(0)-f ‘’’(0). Для всех оригиналов справедлива теорема интегралов:f^‾(p)>f(t); f^‾(p)/р>0tf()d.Отсюда изображение и интеграл получается из изображенияf(t) при помощи выполнения алгебраических операций. e^t, sint, cost алгебраические ф-ии от р.

18. Теорема о дифф. Изобраения.

Изображением оригинала f(t) называется ф-яF(p)комплексного переменногоp=s+i, определяемая интегралом:F(p)=₀^ f(t)e^-ptdt.Теорема: для всякого оригиналаf(t) изображениеF(p)существует в полуплоскостиRep=s>s₀, гдеs₀-показатель роста ф-ииf(t). Если F(p)явл-ся изображением ф-ииf(t), тоlim_pF(p)=0.

19. Теорема о дифф. оригинала.

Пусть оригиналом от F(t) дифф.n-раз доn-го порядка в свою очередь явл. оригиналами, тогда справедлива теорема дифф. оригинала. Еслиf^‾(p)>f(t); f^(k)(p)>p^kf(p)- {p^k-1 f(p)+p^k-2 f ’(p)+…+p^k-n f^n-1(p)}. f(t)< f^‾(p); f ’(t)<p f^‾(p)-f(0); f(t)< p²f^‾(p)-pf(0)-f ‘(0); f(t)<p³f^‾(p)-p²f(0)-pf ‘(0)-f ‘‘(0); f^Ⅳ(t)< f(t)<p⁴f^‾(p)-p3f(0)-p²f ‘(0)-pf ‘‘(0)-f ‘’’(0).

20. Теорема об интегрировании интеграла.

Для всех оригиналов справедлива теорема интегралов: f^‾(p)>f(t); f^‾(p)/р>0tf()d.Отсюда изображение и интеграл получается из изображенияf(t) при помощи выполнения алгебраических операций. e^t, sint, cost алгебраические ф-ии от р это дает возможность многии операции математического анализа и решение дифф. интегрального у-нии свести к выполнению алгебраических действий над изображениями искомых ф-ций.

21. Теорема об интегрировании изображения.

Если f(t)<F(p) и интеграл_p^F()d сходится, то_p^F()d>f(t)/t; интегрирование изображения отp досоответствует деление его оригинала наt. _p^F()d= _p^ (_p^f(t)e^-ptdt)d= _p^ (_p^ e^-ptd)f(t)dt = _p^ (1/te^-pt _p^) f(t)dt= _p^ f(t)/te^-pt dt >f(t)/t.

22. Применение операционного исчисления.

Применение к решению некоторых дифф. и интегральных у-нии, если дано линейное дифф. уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентамиy⁽ⁿ⁾+a+ y^(n-1)+a₂y^(n-2)+…+a_ny^(n-m). Правая часть которого явл. оригиналом, то и решение этого оригинала удовлетворяющая произведению начального усл. вида: y(0)=y₀; y’(p)=y₀; y^(n-1)(0)=y₀^n-1. Решение задачи Коши поставленный для этого у-я поставленные служит оригиналом обозначеного этого решения ч/з y(t) находим изображение левой части исходного дифф. уравнения и приравнивая его изображение функцииf(t) приходим к изображающему у-ю которое всегда явл. линейным алгебраическим ур-ем.