23. Решение задачи Коши для линейных и дифф. У-ний.

Пусть требуется найти решение линейного дифф. ур-я: y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1) +…+a_ny=f(t). Начальные условия: : y(0)=с₀; y’(p)=с₁,…, y^(n-1)(0)=y_n-1. Пустьy(t)<Y(p)=Y иF(p)>f(t)=F; перейдем в у-и от оригинала к изображениям: (pⁿY-p^n-1c₀-p^n-2c₁-…- c_n-1)+a₁(p^n-1Y-p^n-2c₀-…- c_n-2)+…+a_n-1(pY-c₀)+a_nY=F.-это операторное у-е. ОтY: Y(pⁿ+a₁p^n-1+…+ a_n-1p+ a_n)=F+c₀ (p^n-1+ a₁p^n-2+…+a_n-2)+…+c_n-1Y(p)=F(p)+R_n-1(p)/Q_n(p)-это отераторное решение дифф. у-я.

24. Решение с/с дифф. У-ний с применение операционного исчесления.

Также как и Решение задачи Коши для линейных и дифф. у-ний. Пример: {x’=y-z, y’=x+y, z’=x+z; гдеx(0)=1, y(0)=2, z(0)=3. Решение: Пустьx=x(t)<X(p)=X; y=y(t)<Y(p)=Y; z=z(t)<Z(p)=Z. Находим:x’<pX-1; y’<pY-2; z’<pZ-3;С/с примет вид:{pX-Y+Z=1, X-(p-1)Y=-2, X+(1-p)Z=-3. Решаем с/с:X(p)=p-2/p(p-1), Y(p)=2p²-p-2/p(p-1)², Z(p)=3p²-2p-2/p(p-1)². Переходим от изображения к оригеналам: X(p)=p-2/p(p-1)=2p-2-p/ p(p-1)=2(p-1)/ p(p-1)-p/ p(p-1)=2/p-1/p-1>2-e^t=x(t); Y(p)=2p²-p-2/p(p-1)² =-2/p+4/p-1-1/( p-1)²>-2+4e^t-te^t=y(t); Z(p)=3p²-2p-2/p(p-1)²=-2/p+5/p-1-1/( p-1)²>-2+5e^t-te^t=z(t).

25. Решение интегральных ур-ний.